Sucesión de Thue-Morse
En matemáticas, la sucesión de Thue-Morse (también conocida como sucesión de Prouhet-Thue-Morse) es una sucesión de dígitos binarios que si se concatenan produce una secuencia con segmentos iniciales alternos.
La secuencia se obtiene comenzando con un cero y añadiendo sucesivamente el complemento Booleano de la secuencia que existe al momento.
De esta forma, la secuencia comienza con 0, 01, 0110, 01101001, 0110100110010110...(sucesión A010060 en OEIS) Existen varias definiciones equivalentes de la sucesión de Thue-Morse: Para calcular el nésimo elemento tn, se escribe el número n en binario.
[1] Es por esta razón que John H. Conway et al.
Esta secuencia se obtiene mediante una sucesión de dígitos binarios
Luego, una vez que se han especificado los primeros 2n elementos, formando una cadena s, entonces los siguientes 2n elementos deben formar la negación a nivel de bit de s. Ahora se han definido los primeros 2n+1 elementos y se repite la operación.
En particular, estos primeros pasos son los siguientes: De esta forma, La sucesión también se puede definir mediante el siguiente producto: donde tj es el j-simo elemento si comenzamos en j = 0.
Dado que cada bloque en la secuencia de Thue-Morse se define formando una negación binaria del comienzo de la secuencia, y que esta operación se repite al comienzo del siguiente bloque, la secuencia está llena de cuadrados: ocurrencias de la cadena XX, donde X es una cadena de dígitos determinada.
Sin embargo no hay cubos: ocurrencias de la cadena XXX.
Tampoco hay cuadrados solapados: ocurrencias de 0X0X0 o 1X1X1.
[5] Nótese que T2n es un número capicúa para cualquier n > 1.
Más allá, sea qn una palabra obtenida de T2n al contar los unos entre ceros consecutivos.
Esta propiedad puede ser generalizada al concepto de una secuencia automática.
Cuando hay que distribuir entre 2 personas una cantidad de objetos cuyo valor ya se había acordado, sugirieron un método al que llamaron "alternación balanceada" o sea cambiar el orden de selección cada vez que se termina una secuencia de selección, como una manera de evitar la ventaja que tiene el que escoge primero.
Para servir 2 tazas de café desde una jarra, herencias binarias (base 2), etc.
Sin embargo, Prouhet no la mencionó de forma explícita.
Quien sí lo hizo fue Axel Thue en 1906, en un estudio de la combinatoria lingüística.
Dado que Thue publicó su trabajo originalmente en noruego, el análisis de la misma permaneció en la ignorancia general del público internacional, al que sólo llegaría cuando otro matemático (Marston Morse) la aplicó en 1921 a sus trabajos sobre geometría diferencial.
En realidad, dada la aparente simplicidad de su formulación, la secuencia ha sido redescubiera, redefinida y estudiada de forma independiente en muchas ocasiones; y no siempre en el contexto de la investigación matemática.
Por ejemplo el Gran Maestro del ajedrez Max Euwe la descubrió de forma independiente en 1929 aplicándola a desarrollos teóricos del ajedrez.
