Función hipergeométrica
Cada EDO lineal de segundo orden con tres puntos singulares regulares puede transformarse en esta ecuación.
El término serie hipergeométrica fue utilizado por primera vez por John Wallis en su libro de 1655 Arithmetica Infinitorum.
Las series hipergeométricas fueron estudiadas por Leonhard Euler, pero «el primer tratamiento sistemático completo» fue proporcionado por Carl Friedrich Gauss (1813).
La función hipergeométrica está definida para |z| < 1 por la serie de potencias No está definida (o tiende a infinito) si c es igual a un entero no positivo.
Aquí (q) n es el símbolo de Pochhammer (ascendente), que se define por: La serie tiene un número finito de términos si a o b es un entero no positivo, en cuyo caso la función se reduce a un polinomio: Para argumentos complejos z con |z| ≥ 1 puede ser analíticamente extendida en cualquier ruta en el plano complejo que evite los puntos de bifurcación 1 e infinito.
Estos casos incluyen la mayoría de las funciones comúnmente utilizadas en la física matemática.
Los j-invariantes a veces se pueden expresar como las funciones inversas de relaciones de funciones hipergeométricas cuyos argumentos a, b, c son 1, 1/2, 1/3, …, o 0.
Las funciones beta Bx (p, q) están relacionadas por Las integrales elípticas K y E vienen dadas por La función hipergeométrica es una solución de la ecuación diferencial hipergeométrica de Euler que tiene tres puntos singulares regulares: 0,1 y ∞.
Téngase en cuenta que cada aplicación triangular es regular en z ∈ {0, 1, ∞} respectivamente, con y En el caso especial de que λ, μ y ν son reales, con 0 ≤ λ, μ, ν < 1, lss s-aplicaciones son transformaciones conformes del semiplano superior H con triángulos en una esfera de Riemann, delimitado por arcos circulares.
Los puntos singulares 0,1 y ∞ se envían a los vértices del triángulo.
Los ángulos del triángulo son πλ, πμ y πν respectivamente.
Además, en el caso de λ = 1/p, μ = 1/q y ν = 1/r para los enteros p, q, r, entonces el triángulo recubre la esfera, el plano complejo o el semiplano superior según si λ + μ + ν - 1 es positivo, cero o negativo; y las s-aplicaciones son funciones inversas de la función automórfica para el grupo triangular 〈 p, q, r〉 = Δ (p, q, r).
En otras palabras, la monodromía es una representación lineal bidimensional del grupo fundamental.
La representación monodrómica del grupo fundamental se puede calcular explícitamente en términos de los exponentes en los puntos singulares.
Cuando z es un número real mayor que o igual a 1, se debe utilizar la continuación analítica porque (1 - zx) es cero en algún punto del soporte de la integral, por lo que su valor puede estar mal definido.
Otras representaciones, correspondientes a otras ramas, se dan tomando el mismo integrando, pero siguiendo la ruta de integración como un ciclo de Pochhammer cerrado que encierra las singularidades en varios órdenes.
Gauss demostró que 2F1(a, b; c; z) se puede escribir como una combinación lineal de dos de sus funciones contiguas, con coeficientes racionales en términos de a, b, c y z. Esto da relaciones, dadas al identificar dos líneas en el lado derecho de donde F = 2F1(a, b; c; z), F(a+) = 2F1(a + 1, b; c; z), y así sucesivamente.
La aplicación repetida de estas relaciones proporciona una relación lineal con respecto a C(z) entre tres funciones de la forma donde m, n, y l son enteros.
Los primeros ejemplos fueron dados por Kummer (1836), y Goursat (1881) dio una lista completa.
Las transformaciones de otros grados solo existen si a, b y c son ciertos números racionales (Vidunas, 2005).
