Sangaku
Sangaku o San Gaku (算額, lit. Tablilla Matemática?)
son tablillas de origen japonés con problemas matemáticos principalmente geométricos, creadas durante el período Edo.
Un sangaku es una tablilla de madera con figuras geométricas, ubicadas en los templos y santuarios como ofrendas votivas a los dioses o como desafíos a los congregados y visitantes, escritos en kanbun, una forma antigua de japonés.
Cada tablilla sangaku contiene entre 1 y 10 problemas, y cada problema está formado de la siguiente manera: arriba (o a la derecha) de la tablilla se ubican las figuras geométricas; abajo (o a la izquierda) se encuentran la pregunta y soluciones (procedimiento, respuesta, o ambas si las hay); y por último el creador del sangaku, el profesor, la escuela y la fecha de su colgado.
que pueden encontrarse en la naturaleza o en niveles superiores de existencia.
Este término, que constituye el concepto central del culto, se aplica a cualquier fuerza sobrenatural o dios, como los dioses de la naturaleza, hombres sobresalientes, antepasados deificados o hasta deidades que representan ciertos ideales o simbolizan un poder abstracto.
Y dado que a los kami les encantan los caballos vivos, los fieles que no podían ofrendar un caballo, tenían la opción de ofrecer un remado en madera.
Antes de ese momento el país había sido devastado por una serie de guerras internas provocadas por los distintos clanes rivales que querían llegar al poder.
Hasta que finalmente el orden fue restablecido por el shogun que es la máxima autoridad después del emperador, tokugawa leyasu, llevó a cabo la reunificación del país tanto política como económica, fue así como la capital fue trasladada de Kioto a Edo, desde ese momento Japón llevó un aislamiento voluntario con respecto al resto del mundo, y todo aquel que se atreviese a desobedecer esto, era condenado a muerte, hasta que en 1854 el gobierno fue prácticamente obligado a cambiar esta política por la presencia de la fuerza naval norteamericana, dando lugar al Tratado de Kanagawa.
Este periodo de aislamiento también produjo que las matemáticas avanzaran mucho en Japón ya que no tenían acceso al resto del mundo, fueron las mismas personas tanto campesinos como samuráis quienes dieron un desarrollo genuino a este periodo.
[3] La tablilla Sangaku más antigua que se conoce proviene de la prefectura de Tochigi y se remonta a 1683.
[1] Fujita Kagen (1765-1821), matemático japonés, publicó la primera colección de problemas Sangaku, en sus obras Shinpeki Sanpō (Problemas matemáticos suspendidos en el Templo) en 1789, y una segunda parte en 1806, Zoku Shinpeki Sanpō.
Una colección de Sangaku fue publicada en 1989 por Hidetoshi Fukagawa y Daniel Pedoe, la primera en inglés, en el libro: Japanese Temple Geometry Problems.
Hay que demostrar que el segmento que conecta el centro de la circunferencia verde con el punto de intersección del triángulo y la circunferencia azul es perpendicular con el diámetro de la circunferencia amarilla.
En la solución dada en el sangaku, el autor traza un segundo segmento rectilíneo distinto del segmento enunciado que pasa por el centro del círculo verde y que es perpendicular al diámetro del círculo amarillo, de modo que los dos segmentos deberían interceptar al diámetro en puntos distintos.
Este problema de la Prefectura de Gunma del año 1824, trata sobre tres circunferencias tangentes entre sí y a una misma recta.
La solución a este problema es: o donde r1, r2, r3 son respectivamente el radio de la circunferencia rojo, verde y azul.
También llamado Primer Teorema japonés, este teorema nos dice que al triangular un polígono convexo inscrito en un círculo, mediante diagonales que no se intersequen en el interior del polígono, la suma de los radios de los círculos inscritos en los triángulos es una constante (invariante) que es independiente de la triangulación elegida.
En la imagen se muestran dos triangulaciones de un hexágono inscrito, formando las circunferencias verdes y azules respectivamente.
También llamado Segundo teorema japonés, este teorema nos dice que al unir los incentros de los triángulos formados al trazar las diagonales de un cuadrilátero inscrito en una circunferencia se forma un rectángulo.
La idea básica de la demostración es probar que los ángulos del cuadrilátero formado por los incentros son rectos y por lo tanto es un rectángulo.
Dos esferas tangentes A y B entre sí están inscritas en una gran esfera C. El problema es determinar el número de esferas que forman el collar, o sea, esferas de distintos tamaños tangentes a sus dos vecinos más cercanos y a las tres esferas dadas, además se pide encontrar los radios de las esferas que forman el collar en función de los radios de A, B y C. La solución viene dada por el teorema del sexteto de Soddy (1937) que nos dice que habrá solo 6 esferas.
Entre los sangakus algebraicos destacan: Sean las longitudes de los segmentos
El problema gráfico se soluciona usando las propiedades de la Inversión.
El problema suele tener cuatro soluciones que aquí es solo una.
Una vez reducido, dibujamos una recta que pase por el centro de la circunferencia y sea perpendicular a la recta y hacemos que el punto más alejado (C) sea el centro de una inversión en la que la recta sea la figura inversa de la circunferencia, y el punto A sea inverso de B.
(Figura 3) Este centro es también el de la circunferencia buscada en el sangaku.
,m5 los segmentos de mediatrices (o simetrales) desde el circuncentro a los lados.
Aplicando el teorema de Carnot a estos triángulos obtenemos:
De forma análoga se puede probar para cualquier k-polígono convexo.
