Sus primeros trabajos fueron con las bandas de Charlie Barnet y Red Norvo, antes de incorporarse a la big band de Woody Herman (1944) como pianista y arreglista, siendo uno de los artífices de su típico sonido four brothers.
A partir de 1955, Burns se dedica casi en exclusiva a componer para el cine y la televisión, aunque aún mantiene una banda propia y colabora ocasionalmente con Herman.
Su forma de componer y arreglar para bandas de jazz, muy influenciada por el estilo de Herman, facilitan el paso del swing al West Coast jazz.
Uno de sus temas más conocidos, "Cool cat on a hot tin roof" es un paradigma de ello.
Entre su abundante trabajo para el cine, destacan las siguientes bandas sonoras: Burns escondió cuidadosamente su homosexualidad a lo largo de su vida.