Polinomio de Wilkinson

Sin embargo, el problema también puede estar extremadamente mal condicionado para polinomios con ceros bien separados.En 1984, describió el impacto que le causó este descubrimiento: El polinomio de Wilkinson se usa a menudo para ilustrar lo indeseable de calcular ingenuamente los autovalores de una matriz calculando primero los coeficientes del polinomio característico de la matriz y luego encontrando sus raíces, ya que usar los coeficientes como un paso intermedio puede introducir un mal condicionamiento extremo incluso si el problema original estaba bien condicionado.Las raíces en x =18 y x =19 se encuentran con una raíz doble en x≈18.62, que se convierte en un par de raíces conjugadas complejas en x≈19.5 ± 1.9i a medida que la perturbación aumenta aún más.En este caso, αj generalmente no es diferenciable con respecto a t (a menos que c desaparezca aquí), y las raíces serán extremadamente inestables.En el ejemplo del polinomio de Wilkinson de grado 20, las raíces están dadas por αj =j para j = 1, ..., 20 y c(x) es igual a x19.= 25.137 ... a la raíz perturbada 20.84 ... es muy deficiente; esto es aún más obvio para la raíz α19, donde la raíz perturbada tiene una gran parte imaginaria pero la aproximación de primer orden (y para el caso todas las aproximaciones de orden superior) son reales.Sin embargo, el análisis anterior demuestra que esto es extremadamente engañoso: la raíz α20 = 20 es menos estable que α1 = 1 (a pequeñas perturbaciones en el coeficiente de x19) por un factor de 2019 = 5242880000000000000000000.El segundo ejemplo considerado por Wilkinson es Los veinte ceros de este polinomio están en una progresión geométrica con razón común 2, y por lo tanto el cociente no puede ser grande.La expansión expresa el polinomio en una base particular, a saber, la de los monomios.Por ejemplo, en una forma de Lagrange, un pequeño cambio en uno (o varios) coeficientes no implica modificaciones demasiado grandes en las raíces.