Número superabundante

Los primeros números superabundantes son 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, ... (sucesión A004394 en OEIS).

Los números superabundantes fueron definidos por Leonidas Alaoglu y Paul Erdős (1944).

Sin embargo, Alaoglu y Erdős desconocían unas 30 páginas suprimidas del artículo del matemático indio Ramanujan de 1915 titulado "Números altamente compuestos".

Esas páginas finalmente se publicaron en The Ramanujan Journal 1 (1997), 119–153.

En la sección 59 de ese documento, Ramanujan definía los números altamente compuestos generalizados, que incluyen los números superabundantes.

Leonidas Alaoglu y Paul Erdős (1944) demostraron que si n es superabundante, entonces existe una k y un conjunto de a1, a2, ..., ak tales que donde pi es el i-ésimo número primo, y Es decir, probaron que si n es superabundante, la descomposición en primos de n tiene exponentes no crecientes (el exponente de un primo mayor nunca es mayor que el de un primo menor) y que todos los primos que se suman a

son factores de n. Entonces, en particular, cualquier número superabundante es un número entero par, y es un múltiplo del k-ésimo primorial

De hecho, el último exponente ak es igual a 1 excepto cuando n es 4 o 36.

De hecho, solo 449 números superabundantes y altamente compuestos son el mismo (sucesión A166981 en OEIS).

Alaoglu y Erdős observaron que todos los números superabundantes son altamente abundantes.

Si esta desigualdad tiene un contraejemplo más grande, demostrando que la hipótesis de Riemann es falsa, este contraejemplo más pequeño debe ser un número superabundante (Akbary y Friggstad, 2009).

No todos los números superabundantes son colosalmente abundantes.