Número armónico
Este también es igual a n veces el inverso de la media armónica.
La primera representación, en forma integral, fue dada por Leonhard Euler: En esta representación es fácil mostrar que se satisface una relación recursiva mediante la fórmula y luego dentro de la integral.
Hn crece igual de rápido que el logaritmo natural de n. La razón es que la suma está aproximada por la integral cuyo valor es log(n).
Y también, como la correspondiente expansión asintótica: Una función generatriz que indexa los números armónicos es donde
Otra función generadora exponencial que indexa a los números armónicos es: donde
Los números armónicos aparecen en varias fórmulas de expresiones del cálculo, como por ejemplo, esta expresión de la función digamma: Esta relación es también utilizada frecuentemente para definir la extensión de los números armónicos a números no enteros n. Los números armónicos también son utilizados frecuentemente para definir γ, usando el límite antes definido en la anterior sección, aunque este converge más rápidamente.
Otras notaciones ocasinalmente utilizadas, son: El caso especial de m = 1 es simplemente el n-ésimo número armónico y suele escribirse sin el índice superior.
, los números armónicos generalizados convergen a la función zeta de Riemann.
La función generatriz dada arriba, es un caso especial de esta fórmula cuando m = 1.
Escogiendo a = 0, esta fórmula da ambas representaciones (integral y en forma de serie) para una función que genera los números armónicos y extiende la definición al plano complejo.
Esta relación integral se obtiene fácilmente por manipulación del binomio de Newton: concretamente, del binomio generalizado de Newton.
