En matemáticas, los números de Stirling resuelven algunos problemas del área de combinatoria.
Su nombre se debe a James Stirling, quien los popularizó en el siglo XVIII.
Existen dos diferentes conjuntos de números con este nombre: números de Stirling de primera especie y números de Stirling de segunda especie.
Fueron descubiertos nuevamente por Masanobu Saka en 1782, quien les otorgó su relevancia en combinatoria en su libro Sanpo-Gakkai (El mar del aprendizaje matemático).
[1][2] Existen diversas formas de denotar los números de Stirling.
Los números de Stirling de primera especie se escriben con una s pequeña y los de segunda especie con una S grande (Abramowitz and Stegun usa una mayúscula o una S gótica).
Las notaciones más comunes son:
{\displaystyle s(n,k){\text{ (con signo)}}\,}
= c ( n , k ) =
s ( n , k )
Los números de Stirling de segunda especie se denotan como:
La notación usando llaves y corchetes, en analogía a los coeficientes binomiales, fue introducida en 1935 por Jovan Karamata y promocionada por Donald Knuth; referida a veces como la notación de Karamata.
Los números de Stirling de primera especie son los coeficientes s(n,k) de la expansión:
s ( n , k )
(símbolo de Pochhammer) denota el factorial descendente,
Nótese que (x)0 = 1 porque es un producto vacío.
En combinatoria también se usa la notación
para el factorial descedente, y
[3] Los números de Stirling de primera especie no signados:
c ( n , k ) =
s ( n , k )
s ( n , k )
(con una "s" minúscula), cuenta el número de permutaciones de n elementos con k ciclos disjuntos.
Las siguiente tabla muestra algunos pocos números de Stirling de primera especie:
es el conjunto de los primeros n enteros.
Otra notación para los números de Stirling de segunda especie son:
A continuación se muestra una tabla de valores para los números de Stirling de segunda especie: donde:
Abramowitz y Stegun presentan las siguientes fórmulas simétricas que relacionan los número de Stirling de primera especie con los de segunda especie:
{\displaystyle \left[{n \atop k}\right]=(-1)^{n-k}\sum _{j=0}^{n-k}(-1)^{j}{n-1+j \choose n-k+j}{2n-k \choose n-k-j}\left\{{n-k+j \atop j}\right\}}
{\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}=(-1)^{n-k}\sum _{j=0}^{n-k}(-1)^{j}{n-1+j \choose n-k+j}{2n-k \choose n-k-j}\left[{n-k+j \atop j}\right].}