Disco de Poincaré

Si u y v son dos vectores en un espacio vectorial real n-dimensional Rn con la norma euclidiana usual, ambos de norma inferior a uno, entonces se puede definir un invariante isométrico por donde

El tensor métrico asociado al disco de Poincaré está dado por donde las xi son las coordenadas cartesianas del espacio euclídeo ambiente.

Para las coordenadas cartesianas (t, xi) del hiperboloide e (yi) del plano, las fórmulas de conversión son : Compárese las fórmulas con la proyección estereográfica entre una esfera y un plano.

Dados dos puntos u y v en el disco que no estén en un diámetro, se puede resolver para el círculo de esta forma pasando por ambos puntos, y obtener Si los puntos u y v son puntos de la frontera del disco que no están en los extremos de un diámetro, esto se simplifica a Puede calcularse el ángulo entre el arco circular cuyos extremos (puntos ideales) están dados por vectores unitarios u y v, y el arco cuyos extremos son s y t, dada una fórmula.

Si las rectas de ambos modelos son diámetros, de modo que v = −u y t = −s, entonces meramente se encuentra el ángulo entre dos vectores unitarios, y la fórmula para el ángulo θ es Si v = −u pero no t = −s, la fórmula se convierte, en términos del producto exterior, en donde Si ambas cuerdas no son diámetros, la fórmula general obtiene donde Utilizando la identidad de Binet–Cauchy y el hecho de que estos vectores son unitarios, las expresiones precedentes pueden rescribirse en términos puramente del producto escalar, como La edición Circle Limit IV por M.C. Escher, es una visualización artística del disco de Poincaré.