Mediana geométrica
[3] La mediana geométrica es un estimador importante de localización en estadística,[4] donde así mismo se la conoce como el estimador1.
[6] El caso especial del problema para tres puntos en el plano (es decir, m = 3 y n = 2 en la definición que figura a continuación) también se conoce a veces como el problema de Fermat; surge en la construcción de árboles de Steiner mínimos, y se planteó originalmente como un problema por Pierre de Fermat, y fue resuelto por Evangelista Torricelli.
[7] Su solución ahora se conoce como el punto de Fermat del triángulo formado por los tres puntos de la muestra.
[10] Wesolowsky (1993) proporciona un muestreo del problema de la mediana geométrica.
Véase Fekete, Mitchell y Beurer (2005) para generalizaciones del problema a conjuntos de puntos no discretos.
, la mediana geométrica se define como Aquí, arg min significa el valor del argumento
Por lo tanto, solo las aproximaciones numéricas o simbólicas a la solución de este problema son posibles bajo este modelo de computación.
[14] Sin embargo, es sencillo calcular una aproximación a la mediana geométrica utilizando un procedimiento iterativo en el que cada paso produce una aproximación más precisa.
Por lo tanto, los procedimientos que disminuyen la suma de distancias en cada paso no pueden quedar atrapados en un óptimo local.
Este algoritmo define un conjunto de pesos que son inversamente proporcionales a las distancias a las muestras desde la última estimación, y crea una nueva estimación que es el promedio ponderado de las muestras de acuerdo con estos pesos.
Es decir, Este método converge para casi todas las posiciones iniciales, pero puede no converger cuando una de sus estimaciones recae en uno de los puntos dados.
Se puede modificar para manejar estos casos de modo que converja para todos los puntos iniciales.
[12] Bose, Maheshwari y Morin (2003) describe procedimientos de optimización geométrica más sofisticados para encontrar soluciones aproximadamente óptimas a este problema.
(2016) muestran cómo calcular la mediana geométrica con precisión arbitraria en tiempo casi lineal.
Si y es distinto de todos los puntos dados, xj, entonces y es la mediana geométrica si y solo si satisface: Esto es equivalente a: que está estrechamente relacionado con el algoritmo de Weiszfeld.
En el caso unidimensional, el hiperplano es el punto y en sí mismo, y la suma de direcciones se simplifica a la medida de conteo (dirigida).
La mediana geométrica se puede generalizar de espacios euclidianos a variedades de Riemann generales (e incluso al espacio métrico) usando la misma idea que se usa para definir la media de Fréchet en una variedad riemanniana.
A continuación se define la mediana geométrica ponderada
