Resistencia de materiales

La resistencia de materiales clásica es una disciplina de la ingeniería mecánica, la ingeniería estructural, la ingeniería civil y la ingeniería de materiales que estudia la mecánica de sólidos deformables mediante modelos simplificados.La resistencia de un elemento se define como su capacidad para resistir esfuerzos y fuerzas aplicadas sin romperse, adquirir deformaciones permanentes o deteriorarse de algún modo.Un modelo de resistencia de materiales establece una relación entre las fuerzas aplicadas, también llamadas cargas o acciones, y los esfuerzos y desplazamientos inducidos por ellas.Esos problemas planteados en términos de tensiones y deformaciones pueden entonces ser resueltos de forma muy aproximada con métodos numéricos como el análisis por elementos finitos.Estas magnitudes vienen dadas por campos tensoriales definidos sobre dominios tridimensionales que satisfacen ecuaciones diferenciales normalmente complejas.Sin embargo, para ciertas geometrías aproximadamente unidimensionales (vigas, pilares, celosías, arcos, etc.) o bidimensionales (placas y láminas, membranas, etc.) el estudio puede simplificarse y se pueden analizar mediante el cálculo de esfuerzos internos definidos sobre una línea o una superficie en lugar de tensiones definidas sobre un dominio tridimensional.Además las deformaciones pueden determinarse con los esfuerzos internos a través de cierta hipótesis cinemática.En resumen, para esas geometrías todo el estudio puede reducirse al estudio de magnitudes alternativas a deformaciones y tensiones.Se construye un esquema ideal de cálculo formado por elementos unidimensionales o bidimensionales, y se aplican fórmulas preestablecidas en base al tipo de solicitación que presentan los elementos.Esas fórmulas preestablecidas que no necesitan ser deducidas para cada caso, se basan en el esquema de cuatro puntos anteriores.El concepto se usa especialmente en el cálculo de elementos lineales (por ejemplo, vigas) y elementos bidimensionales, donde gracias a la hipótesis cinemática se pueden obtener relaciones funcionales más simples.Así pues, gracias a la hipótesis cinemática se pueden relacionar los desplazamientos en cualquier punto del sólido deformable de un dominio tridimensional con los desplazamientos especificados sobre un conjunto unidimensional o bidimensional.La resistencia de materiales propone para elementos lineales o prismas mecánicos, como las vigas y pilares, en las que el desplazamiento de cualquier punto se puede calcular a partir de desplazamientos y giros especificados sobre el eje baricéntrico.Existen diversos tipos de hipótesis cinemáticas según el tipo de solicitación de la viga o elemento unidimensional: Para placas y láminas sometidas a flexión se usan dos hipótesis, que se pueden poner en correspondencia con las hipótesis de vigas: Las ecuaciones constitutivas de la resistencia de materiales son las que explicitan el comportamiento del material, generalmente se toman como ecuaciones constitutivas las ecuaciones de Lamé-Hooke de la elasticidad lineal.Estas ecuaciones pueden ser especializadas para elementos lineales y superficiales.En cambio, para elementos superficiales sometidos predominantemente a flexión como las placas la especialización de las ecuaciones de Hooke es:Además de ecuaciones constitutivas elásticas, en el cálculo estructural varias normativas recogen métodos de cálculo plástico donde se usan ecuaciones constitutivas de plasticidad.Gracias a ese cambio es posible escribir ecuaciones de equilibrio que relacionen directamente las fuerzas aplicadas con los esfuerzos internos.En ese sistema de coordenadas la relación entre esfuerzo normal (Nx), esfuerzos cortantes (Vy, Vz), el momento torsor (Mx) y los momentos flectores (My, Mz) es:Para elementos bidimensionales es común tomar un sistema de dos coordenadas (cartesiano o curvilíneo) coincidentes con la superficie media, estando la tercera coordenada alineada con el espesor.Los esfuerzos cortantes y los momentos flectores por unidad de área vienen dados por:{\displaystyle [T]_{uvz}={\begin{bmatrix}\sigma _{uu}&\sigma _{uv}&\sigma _{uz}\\\sigma _{uv}&\sigma _{vv}&\sigma _{vz}\\\sigma _{uz}&\sigma _{vz}&0\end{bmatrix}}}Un caso particular de lo anterior lo constituyen las láminas planas cuya deformación se ajusta a la hipótesis de Love-Kirchhoff, caracterizada por que el vector normal a la superficie media deformada coincide con la normal deformada.Esa hipótesis es una muy buena aproximación cuando los esfuerzos cortantes son despreciables y en ese caso los momentos flectores por unidad de área en función de las tensiones vienen dados por:El procedimiento, que se detalla a continuación, es ligeramente diferente para elementos unidimensionales y bidimensionales.En una viga recta horizontal, alineada con el eje X, y en la que las cargas son verticales y situadas sobre el plano XY, las ecuaciones de equilibrio relacionan el momento flector (Mz), el esfuerzo cortante (Vy) con la carga vertical (qy) y tienen la forma:Las ecuaciones de equilibrio para elementos bidimensionales (placas) en flexión análogas a las ecuaciones de la sección anterior para elementos lineales (vigas) relacionan los momentos por unidad de ancho (mx, my, mxy), con los esfuerzos cortantes por unidad de ancho (vx, my) y la carga superficial vertical (qs):El diseño mecánico de piezas requiere: En general, el cálculo de tensiones puede abordarse con toda generalidad desde la teoría de la elasticidad, sin embargo cuando la geometría de los elementos es suficientemente simple (como sucede en el caso de elementos lineales o bidimensionales) las tensiones y desplazamientos pueden ser calculados de manera mucho más simple mediante los métodos de la resistencia de materiales, que directamente a partir del planteamiento general del problema elástico.El cálculo de desplazamientos en elementos lineales puede llevarse a cabo a partir métodos directos como la ecuación de la curva elástica, los teoremas de Mohr o el método matricial o a partir de métodos energéticos como los teoremas de Castigliano o incluso por métodos computacionales.Más concretamente ciertas aplicaciones requieren asegurar que bajo las fuerzas actuantes algunos elementos resistentes no superen nunca desplazamientos por encima de cierto valor prefijado.