Torsión mecánica

En ingeniería, torsión es la solicitación que se presenta cuando se aplica un momento sobre el eje longitudinal de un elemento constructivo o prisma mecánico, como pueden ser ejes o, en general, elementos donde una dimensión predomina sobre las otras dos, aunque es posible encontrarla en situaciones diversas.La torsión se caracteriza geométricamente porque cualquier curva paralela al eje de la pieza deja de estar contenida en el plano formado inicialmente por las dos curvas.En función de la forma de la sección y la forma del alabeo, pueden usarse diversas aproximaciones más simples que el caso general.En el caso general se puede demostrar que el giro relativo de una sección no es constante y no coincide tampoco con la función de alabeo unitario.A partir del caso general, y definiendo la esbeltez torsional como:Donde G, E son respectivamente el módulo de elasticidad transversal y el módulo elasticidad longitudinal, J, Iω son el módulo torsional y el momento de alabeo y L es la longitud de la barra recta.De acuerdo con Kollbruner y Basler:[1]​ El cálculo exacto de la torsión en el caso general puede llevarse a cabo mediante métodos variacionales o usando un lagrangiano basado en la energía de deformación.La teoría de Coulomb de hecho es un caso particular en el que el alabeo es cero, y por tanto sólo existe giro.Esta ecuación se asienta en la hipótesis cinemática de Coulomb sobre como se deforma una pieza prismática con simetría de revolución, es decir, es una teoría aplicable solamente a elementos sección circular o circular hueca.Para piezas con sección de ese tipo se supone que el eje baricéntrico permanece inalterado y cualquier otra línea paralea al eje se transforma en una espiral que gira alrededor del eje baricéntrico, es decir, se admite que la deformación viene dada por unos desplazamientos del tipo:El tensor de deformaciones para una pieza torsionada como la anterior se obtiene derivando adecuadamente las anteriores componentes del vector de desplazamiento:Usando las ecuaciones de equivalencia se llega a la relación existente entre la función α y el momento torsor:Para una barra recta de sección no circular además del giro relativo aparecerá un pequeño alabeo que requiere una hipótesis cinemática más complicada.es el giro relativo de la sección (siendo su derivada constante); siendo zC y yC las coordenadas del centro de cortante respecto al centro de gravedad de la sección transversal y siendo ω(y, z) la función de alabeo unitario que da los desplazamientos perpendiculares a la sección y permiten conocer la forma curvada final que tendrá la sección transversal.Conviene señalar, que la teoría al postular que la derivada del giro es constante es sólo una aproximación útil para piezas de gran inercia torsional.Calculando las tensiones a partir de las anteriores deformaciones e introduciéndolas en la ecuación de equilibrio elástico se llega a:Concretamente Prandtl probó en 1903 que la forma que adopta la membrana puede relacionarse con una función de tensiones cuyas derivadas dan las tensiones tangenciales en cada dirección.Y en términos de estas las tensiones vienen dadas por:En este caso las tensiones tangenciales pueden considerarse aproximadamente constantes sobre una línea paralela al espesor de la pieza, es decir, perpendicular al contorno exterior de la pieza.La tensión tangencial en este caso puede expresarse mediante:En caso de que el espesor sea e(s) = e0constante esta última ecuación se reduce a:Para un rectángulo muy alargado (b << a) la tensión tangencial máxima y el giro pueden aproximarse por:Donde τi,max es la tensión tangencial máxima sobre el rectángulo i-ésimo, bi es el espesor (ancho) de dicho rectángulo y ai su largo.Sin embargo en el dominio central de torsión extrema, se cometen errores importantes y es necesario usar la teoría general más complicada.{\displaystyle \mathbf {T} _{tor}={\begin{bmatrix}\sigma _{xx}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{xy}&0&0\\\tau _{xz}&0&0\end{bmatrix}}\qquad {\begin{cases}\sigma _{xx}=\omega {\cfrac {B_{\omega }}{I_{\omega }}}\\\tau _{xy}=-{\cfrac {1-\kappa _{0}}{\kappa _{0}}}\left[{\cfrac {\partial \omega }{\partial y}}+z_{C}\right]{\cfrac {M_{\omega }}{J}}+\left[{\cfrac {\partial \omega }{\partial y}}-(z-z_{C})\right]{\cfrac {M_{x}-M_{\omega }}{J}}\\\tau _{xz}=-{\cfrac {1-\kappa _{0}}{\kappa _{0}}}\left[{\cfrac {\partial \omega }{\partial y}}-y_{C}\right]{\cfrac {M_{\omega }}{J}}+\left[{\cfrac {\partial \omega }{\partial y}}+(y-y_{C})\right]{\cfrac {M_{x}-M_{\omega }}{J}}\end{cases}}}son respectivamente el segundo momento de alabeo y el módulo de torsión y los "esfuerzos"se denominan bimomento y momento de alabeo, todos ellos definidos para prismas mecánicos.Para una pieza de sección circular de radio R sometida a un momento torsor MT la tensión tangencial máxima viene dada por:Para un triángulo equilátero y un cuadrado las tensiones máximas debidas a la torisón se dan sobre la mitad de uno de sus lados y vienen dadas por:donde L es lado del triángulo o el cuadrado.