Módulo de torsión
El módulo de torsión o momento de torsión (o inercia torsional) es una propiedad geométrica de la sección transversal de una viga o prisma mecánico que relaciona la magnitud del momento torsor con las tensiones tangenciales sobre la sección transversal.
Dicho módulo se designa por J y aparece en las ecuaciones que relacionan las tensiones tangenciales asociadas, el momento torsor (Mx) y la función del alabeo unitario (ω), esa relación viene dada aproximadamente por las dos ecuaciones siguientes:
{\displaystyle {\tilde {\tau }}_{xy}=\left[{\cfrac {\partial \omega }{\partial y}}-(z-z_{C})\right]{\cfrac {M_{x}}{J}}\qquad \qquad {\tilde {\tau }}_{xz}=\left[{\cfrac {\partial \omega }{\partial z}}+(y-y_{C})\right]{\cfrac {M_{x}}{J}}}
Para una pieza prismática recta de sección constante torsionada aplicando un momento torsor
constante a través de sus extremos el módulo de torsión se relaciona con el ángulo girado
y la longitud total de la pieza mediante la expresión:
Para una sección rectangular de dimensiones b y h (b < h), el módulo de torsión viene dado por la expresión:[1]
Para una sección cuadrada con h = b se tiene:
Donde el momento de inercia polar viene dado por:
Para una sección triangular equilátera de altura h y lado L, el módulo de torsión viene dado por la expresión:[2]
Donde el momento de inercia polar viene dado por:
Para una sección elítptica maciza de semijes a y b, el alabeo unitario puede determinarse exactamente de manera sencilla.
Eso lleva a una módulo de torsión dado por:[3][4]
El cálculo del alabeo unitario o seccional, en general es un problema no elemental, resolver un problema de von Neumann sobre la sección para la que se busca el módulo de torsión.
Una vez conocida la función de alabeo unitario, basta calcular : (1)
Equivalententemente el módulo de torsión puede calcularse a partir de las fórmulas anteriores, llegándose a la expresión compacta:
Si la sección tiene dos ejes de simetría perpendiculares el cálculo anterior se simplifca un poco ya que, entonces
y el alabeo unitario es una función de simetría definida.
La determinación del módulo de torsión de una sección general es un problema matemático complejo que requiere hacer uso de las fórmulas en (1), Sin embargo, para cierto tipo de secciones puede obtenerse un resultado satisfactorio usando algún medio alternativo.
Por ejemplo para piezas huecas o en canal de pared delgada, como lo son la práctica totalidad de las secciones usadas en construcción metálica, puede aproximarse la sección transversal mediante una curva (abierta o cerrada) y un cierto espesor alrededor de la curva.
Debido al diferente comportamiento del "flujo" de tensiones tangenciales a lo largo de la sección deben distinguirse tres casos: En este caso el módulo de torsión se puede obtener integrando el espesor al cubo a lo largo de la curva media
Donde Si el perfil tiene ramificaciones, como sucede en las secciones en I o H entonces la última integral de longitud se extiende sobre cada una de las ramas y la última fórmula se puede generalizar como:
En este caso el flujo de tensiones es aproximadamente constante a lo largo del espesor de la pared que conforma la sección.
Llamando A al área encerrada por la curva media que define la sección y
Si la sección está formada por una curva simple cerrada más algunas ramificaciones que no constituyen curvas cerradas, el módulo de torsión puede obtenerse sumando la contribución de la curva que encierra un área y las ramas:
Este caso es más complicado que el anterior y la fórmula viene dada por una generalización de la fórmula de Bredt.
Si la sección encierra como máximo un área A, formada por n subáreas o paneles que encierran cada uno un área Ai [siendo el caso obviamente que A = A1 + ... + An] y además existen m ramificaciones como en el caso anterior el módulo de torsión viene dado por:
Donde los coeficienes que aparecen en la fórmula anterior son los coeficientes de la matriz
En 1855 Saint-Venant propuso una fórmula que cumplía ese requerimiento y que da buenos resultados para la mayoría de secciones macizas:
se toma frecuentemente entre 35 y 40, la única restricción que se impone normalmente al uso de esta fórmula es que la sección transversal sea convexa.
