Principio de Saint-Venant
La formulación original fue publicada en francés por A. J. C. B. Saint-Venant en 1855.
[2] Aunque esta formulación informal del principio es bien conocida y usualmente usada por los ingenieros mecánicos, el trabajo matemático más reciente lo ha reformulado ligeramente con el objeto de poder construir una demostración matemáticamente precisa en el contexto de las ecuaciones en derivadas parciales de la teoría de la elasticidad.
La afirmación original no es suficientemente precisa para ese objetivo tal como mostró von Mises en 1945.
[3] El principio de Saint-Venant permite en elasticidad aproximar distribuciones de tensiones complicadas o condiciones de contorno débiles por otras más sencillas de tratar matemáticamente, siempre y cuando el contorno esté suficientemente alejado.
El principio de Saint-Venant es análogo al usado en electroestática, donde el campo eléctrico debido a una distribución complicada de cargas, puede ser aproximada por un desarrollo multipolar.
Por esa razón, el principio de Saint-Venant puede ser visto como una afirmación sobre el comportamiento asintótico de la función de Green asociada a una carga puntual.
Ese trabajo ha revelado que ni la forma original en que fue formulado, ni la formulación clásica que hizo Love han podido ser probada.
Por esa razón, diversos autores han reformulado ligeramente el principio para poder obtener resultados exactos, y aproximaciones para casos particulares.
Muchas trabajos tempranos citaban a M. J. Boussinesq como el primer autor que había proporcionado una demostración rigurosa del principio.
Sin embargo, el trabajo de Boussinesq no demostraba el principio en toda su generalidad sino sólo para un sólido semi-infinito.
cuya superficie está formada por el plano
, Boussinesq probó que si se coloca una distribución de fuerzas perpendicularmente a un conjunto compacto de la superficie con:
Entonces la tensión en un punto (x, y, z) es de orden ε cuando la resultante de fuerzas es cero, y es de orden ε2 cuando también el momento resultante es cero.
Sin embargo, el trabajo de Boussinesq no funciona ni siquiera cuando las fuerzas aplicadas tienen componentes tangenciales.
Boussinesq demostró que una fuerza puntual F aplicada en el centro de coordenadas O del sólido semifinito, el vector tensión sobre un elemento de área paralela al plano XY, viene dado por:
A partir de esa solución puede construirse la función de Green asociada a una distribución de fuerzas, ya que si la fuerza está aplicada en un punto A = (x0, y0, 0) las mismas fórmulas son usables, pero trasladando la solución (es decir, reemplazando x por x – x0 e y por y – y0).
Si se consideran n fuerzas puntuales en puntos
de un disco de radio ε centrado en el origen, y se suman las tensiones probadas por todas ellas puede probarse que la tensión normal media en un punto cualquiera del sólido semi-inifito viene dada por:
Obviamente si la fuerza resultante es cero el primer sumando del anterior sumatorio se anula, y si el momento resultante es cero también se anula el segundo, y por tanto el decaimiento de la tensión con r es aún mayor.
Von Mises demostró en su artículo que las tensiones en el centro del círculo son de la forma:
De manera similar a lo que demostró Boussinesq, Von Mises probó que si se considera otro conjunto de fuerzas aplicadas en puntos cercanos, entonces la tensión en el centro que son de orden 1/R para unas fuerzas cualesquiera, pero son de un orden menor si la fuerza resultante es cero y más aún si también el momento resultante es cero.
Von Mises recoge sus resultados y reformula el principio de Saint-Venant en los siguientes términos:
Y sugiere que las formulaciones más ingenuas del principio pueden ser falsas si se considera una sucesión de sólidos de forma similar y se considera el límite.
En ese sentido el principal resultado que demuestra Toupin es que la convergencia hacia cero se da mediante un decaimiento exponencial:[4] Sea una pieza prismática de longitud y sección transversal arbitrarias cargada en una de sus bases con un sistema de fuerzas en equilibrio (de fuerza resultante nula y momento resultante nulo).
Entonces la energía elástica acumulada U(s) más allá de la sección paralela situada a una distancia s, respecto a la energía total U(0) viene satisface la desigualdad:
donde: Esta forma no proporciona un límite puntual sino sólo un límite en la norma energética, por lo que Toupin para lograr límites puntuales demuestra el siguiente resultado complementario que en conjunción con el anterior permite aproximar las tensiones: Sea una esfera sólida deformada arbitrariamente, y sea
la energía elástica de deformación total.
Entonces la deformación en el centro de la esfera siempre satisface la siguiente desigualdad:
{\displaystyle \left|\sum _{i,j}\varepsilon _{ij}^{2}\right|\leq K{\frac {U_{0}}{V}}}
donde V es el volumen de la esfera y K es una constante dependiendo del material.
