Prisma mecánico

Un prisma mecánico o pieza prismática es un modelo mecánico de sólido deformable, usado para calcular elementos estructurales como vigas y pilares.Geométricamente un prisma mecánico puede generarse al mover una sección transversal plana a lo largo de una curva, de tal manera que el centro de masa de la sección esté en todo momento sobre la curva y el vector tangente a la curva sea perpendicular a la sección transversal plana.Podemos dar algunos ejemplos de elementos estructurales con forma de prismas mecánicos: Una pieza prismática queda caracterizada por su eje baricéntrico (la curva a lo largo de la cual se desplaza la sección transversal), su sección transversal (la forma del corte según un plano perpendicular al eje) y el material en el que está fabricado.El eje baricéntrico o línea baricéntrica es el lugar geométrico de los baricentros o centros de gravedad de las diversas secciones transversales que componen una pieza prismática.En una pieza prismática tanto la geometría como las magnitudes mecánicas (tensión, esfuerzo, deformación) se calculan a partir de las correspondientes magnitudes sobre eje baricéntrico.Y la hipótesis cinemática liga las magnitudes de puntos de fuera del eje con las correspondientes magnitudes sobre el eje baricéntrico.al eje (que puede ser recto o curvo) yCuando la pieza es de eje recto no existe mayor problema en usar un conjunto de coordenadas cartesianas, aunque cuando la pieza tiene un eje curvo conviene definir un sistema de coordenadas curvilíneas diferentes.Donde los vectores t, n y b son los vectores tangente, normal y binormal del triedro de Frênet-Serret del punto r(s, x, y) de la curva E; χ y τ son respectivamente la curvatura geométrica y la torsión geométrica del eje de la pieza prismática.El sistema de coordenadas anterior para la pieza estará bien definido para puntos tales que:La primera condición es de tipo matemático y tiene que ver con la validez del cambio de coordenadas, más formalmente el jacobiano del cambio de coordenadas resulta ser positivo si:Por tanto el sistema valdrá como se ha dicho para vigas en que el canto o espesor en la dirección de curvatura sea pequeño comparado con el radio de curvatura.En el cálculo de los esfuerzos sobre una sección resistente, intervienen diversas mangitudes geométricas.Todas estas cantidades son definibles en términos de la forma de la sección y el alabeo seccional ω, mediante las siguientes fórmulas:El significado de estas magnitudes queda claro cuando se considera la relación entre los esfuerzos y los desplazamientos.Tomando dos secciones de dos piezas prismáticas sometidas a los mismos esfuerzos, puede verse que cuanto mayor sea alguna de las magnitudes anterior menores serán los desplazamientos, deformaciones y tensiones sobre dicha sección.Una pieza prismática presenta la peculiaridad mecánica de que cualquier deformación tridimensional puede expresarse en términos de la deformación del eje E(desplazamientos del mismo, cambios de curvatura y torsión).La ecuación que relaciona los desplazamientos y giros del eje, con el campo de desplazamientos del sobre todo el prisma (considerado como sólido deformable) se llama hipótesis cinemática.La deformación de un sólido viene dada por un campo vectorial (u*,v*,w*) dependiente de tres coordenadas de posición (s, y, z), donde s denota la longitud a lo largo del eje de la viga y (y, z) la posición sobre la sección transversal.Cuando el sólido es una pieza prismática dicho campo puede expresarse convenientemente a partir de un vector de desplazamientos y giros del eje de la pieza (u, v, w, θx, θy, θz).Lo anterior implica que las deformaciones sobre una pieza alargada usando las coordenadas curvilíneas (s, y, z) son (despreciando las componentes εyy, εzz y εyz):es la curvatura inicial del eje, y donde se han introducido las abreviaciones:En el caso de no existir fuerzas másicas:{\displaystyle {\begin{matrix}U_{D}={\frac {1}{2}}\int _{K}\left[\sum _{i,j}\sigma _{ij}\varepsilon _{ij}\right]dV&&&U_{P}=\int _{\partial K}\mathbf {d} \cdot \mathbf {q_{s}} \ dS\end{matrix}}}Si se substituyen las descripciones cinemáticas de la sección anterior se obtienen la energía total en términos de desplazamientos para una pieza prismática.(En la ecuación anterior se ha introducido la función de alabeo ω(y,z) y el alabeo unitario φ para dar cuenta de la conexión entre tensión normal y torsión en piezas de sección no circular).Los esfuerzos generalizados sobre una sección transversal de una pieza prismática en términos de los desplazamientos y giros vienen dados por: Las magnitudes geométricasson precisamente las magnitudes las definidas en la #Descripción geométrica de la sección transversal.Para una pieza prismática cuyo eje baricéntrico sea una curva plana y con esfuerzos en el plano de la curva, los esfuerzos en términos de las fuerzas exteriores vienen dados por: donde