Teoría de placas y láminas

En ingeniería estructural, las placas y las láminas son elementos estructurales que geométricamente se pueden aproximar por una superficie bidimensional y que trabajan predominantemente a flexión.Estructuralmente la diferencia entre placas y láminas está en la curvatura.Las hipótesis de Reissner-Mindlin son un conjunto de hipótesis cinemáticas sobre cómo se deforma una placa o lámina bajo flexión que permiten relacionar los desplazamientos con las deformaciones.Las hipótesis de Reissner-Mindlin para el cálculo elástico de placas y láminas son: Como consecuencia los desplazamientos horizontales solo se dan fuera del plano medio y solo se producen por giro del segmento perpendicular al plano medio.En las placas en que se desprecia la deformación por cortante, puede suponerse adecuadamente una hipótesis adicional conocida como hipótesis de Love-Kirchhoff.A partir de esos desplazamientos pueden calcularse fácilmente las deformaciones para una placa delgada:Para una placa plana de espesor constante en la que sean válidas las hipótesis de Reissner-Mindlin y Love-Kircchoff el descenso vertical en cada punto bajo la acción de las cargas apoyadas sobre ella viene dada por: (1)Donde w(x, y) es la flecha vertical o descenso vertical de la placa en el punto de coordenadas (x, y), q(x, y) es la carga por unidad de área en el mismo punto, el operador laplaciano se define, en coordenadas cartesianas, por la siguiente suma de operadores:Donde ahora la rigidez flexional D es función una D(x, y) que depende del punto concreto de placa.En una lámina sometida fundamentalmente a flexión en la que se desprecia la deformación por cortante, o lámina de Love-Kirchhof, los esfuerzos internos se caracterizan por dos momentos flectoressegún dos direcciones mutuamente perpendiculares y un esfuerzo de torsiónEstos esfuerzos están directamente relacionados con la flecha vertical w(x, y) en cada punto por:Donde: Las tensiones sobre una placa son directamente calculabes a partir de los esfuerzos anteriores:Para una placa rectangular de dimensiones a y b con carga uniforme q (por unidad de superficie) y simplemente apoyada en sus extremos la deflexión vertical{\displaystyle w(x,y)={\frac {16q}{\pi ^{6}D}}\sum _{m=1,3,5,\dots }^{\infty }\sum _{n=1,3,5,\dots }^{\infty }{\frac {1}{mn}}{\frac {\sin \left({\frac {m\pi x}{a}}\right)\sin \left({\frac {n\pi y}{b}}\right)}{\left[\left({\frac {m}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {n}{b}}\right)^{2}\right]^{2}}}}con: La anterior serie converge muy rápidamente por lo que se obtiene una muy buena aproximación tomando solo los 3 o 6 primeros términos, además puede demostrarse que la flecha máxima cumple:Donde: Como ejemplo de las anteriores ecuaciones podemos considerar una cúpula en forma de casquete esférico sometida a su propio peso.Cada punto de la cúpula bidimensional se puede parametrizar mediante las coordenadasY por tanto las ecuaciones anteriores quedarán reducidas a:El caso general de una lámina general requiere usar coordenadas curvilíneas generales para parametrizar su superficie, eso conduce a ecuaciones de gobierno que son ecuaciones en derivadas parciales cuya integración es complicada.Sin embargo muchos casos de interés involucran láminas con simetría axial o de revolución, con cargas que también respetan la simetría axial.En esos casos la geometría de la superficie puede parametrizarse mediante una coordenada (que da su "perfil" radial), y las ecuaciones de gobierno en ese caso involucran derivadas respecto a una única coordenada, y por tanto son un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias.Gracias a eso el comportamiento real puede estimarse mediante métodos clásicos, ya que resulta factible integrar en algunos casos las ecuaciones de gobierno.Esto contrata con el caso general para el cual no se conocen las soluciones analíticas de las ecuaciones de gobierno, por lo que en el caso general el comportamiento solo puede investigarse buscando soluciones numéricas aproximadas a las ecuaciones de gobierno.Algunas veces se puede presentar que un líquido a una determinada presión, viscosidad y temperatura, o un gas a una determinada presión, penetre en un recipiente, limitado al exterior por una lámina de metal muy fino, que estaría, por ejemplo, sometido por un lado a la presión atmosférica Pat y por el otro lado a la presión del líquido o gas Pi.Ante esta situación el metal se deforma y pueden suceder dos fenómenos: que al disminuir la presión, y teniendo el metal propiedades de elasticidad, el mismo regrese a la situación original, cumpliéndose la ley Hooke, o bien que, por cualquier motivo, el metal entre en la zona de fluencia.En este caso el metal ya no regresa a su forma original, es decir, se deforma y si la presión es muy elevada, el metal podría llegar al punto de rotura.[5]​[6]​ Ver en esta imagen como la lámina de metal fino regresa a su forma original:Este fenómeno se puede presentar en un instrumento denominado tubo de Bourdon, que podría considerarse un caso de una lámina de metal flexible sometida a dos presiones, la interna, que es un líquido o gas que penetró en el tubo de Bourdon, y la presión atmosférica, en una determinada presión.El instrumento puede medir tanto presión como temperatura .