Método de los elementos finitos (FEM) es una poderosa técnica originalmente desarrollada para soluciones numéricas de problemas complejos en la mecánica estructural, y sigue siendo el método de elección para sistemas complejos.
En el FEM, el sistema estructural es modelado por un conjunto de elementos finitos apropiadamente interconectados en puntos llamados nodos.
Los elementos deben de tener propiedades físicas tales como espesor, Coeficiente de dilatación, Densidad, Módulo de elasticidad, Módulo de cortante y Coeficiente de Poisson.
Los elementos están interconectados solo en los nodos exteriores, y ellos completamente deberían cubrir el dominio entero tan preciso como sea posible.
Los nodos tendrán (vector) desplazamiento nodal o grados de libertad los cuales deben incluir traslaciones, rotaciones, y para aplicaciones especiales, Derivadas de alto orden de desplazamientos.
Cuando los nodos se desplazan, arrastrarán los elementos a lo largo en una cierta manera dictada por la formulación del elemento.
En otras palabras, desplazamientos de algún punto en el elemento serán interpolados desde los desplazamientos nodales, y esta es la principal razón para la naturaleza aproximada de la solución.
Desde el punto de vista de la aplicación, es importante modelar el sistema tal que: Paquetes de software comercial de gran escala usualmente proveen facilidades para generar la malla, salidas gráficas de entradas y salidas, los cuales grandemente facilitan la verificación de ambos datos de entrada e interpretación de resultados.
Mientras la teoría de FEM puede ser representada en diferentes perspectivas o énfasis, su desarrollo para Análisis estructural siguiendo los más tradicionales enfoques mediante el principio de trabajo Virtual o el principio de energía potencial total mínima.
El enfoque del principio de trabajo virtual es más general como es aplicable a ambos comportamientos de material lineal y no lineal.
El principio de desplazamientos virtuales para el sistema estructural expresando la identidad matemática de trabajo virtual interno y externo: El trabajo virtual interno en el lado derecho de la ecuación superior debe ser encontrado sumando el trabajo virtual en los elementos individuales--Este es el paso crucial donde necesitaremos funciones de desplazamiento escrita solo para los bastantes dominios pequeños que sobre el sistema completo.
Como se muestra en las secciones subsiguientes, Eq.
(1) lleva a las siguientes ecuaciones de equilibrio gobernando para el sistema: donde Una vez las restricciones en los soportes son representadas, los desplazamientos nodales son encontrados resolviendo el Sistema de ecuaciones lineales (2), simbólicamente: Subsecuentemente, las restricciones y esfuerzos en elementos individuales debe ser encontrada como sigue: donde Aplicando el Trabajo virtual ecuación (1) al sistema, podemos establecer las matrices de elementos
así como la técnica de ensamblar las matrices del sistema
Otras matrices tales como
Los desplazamientos en algún punto del elemento deben ser encontrados por funciones de Interpolación , simbólicamente: donde La ecuación (6) da subida a otras cantidades de grandes intereses: Para un elemento típico de volumen
, el trabajo virtual interno debido a los desplazamientos virtuales es obtenido por sustitución de (5) y (9) dentro de (1): Primeeramente para la conveniencia de referencias, las siguientes matrices pertenecen a elementos típicos que deben ser definidos: Estas matrices son usualmente evaluadas numéricamente usando la Cuadratura gaussiana para Integración numérica.
Su uso simplifica (10) a lo siguiente: desde que el vector de desplazamientos nodales q es un sujeto del sistema de desplazamientos nodales r (para la compatibilidad con los elementos adyacentes), podemos reemplazar q con r expandiendo el tamaño de las matrices de elementos con nuevas columnas y filas de ceros: Donde, por simplicidad, usamos los mismos símbolos para las matrices de elementos, las cuales ahora han expandido su tamaño así como adecuadamente reordenado sus filas y columnas.
Sumando los trabajos virtuales internos (14) para todos los elementos dados en el lado derecho de (1): Considerando ahora el lado izquierdo de (1), el trabajo virtual externo del sistema consiste de: Añadiendo (16), (17b) e igualando la suma a (15) da:
Desde que los desplazamientos virtuales
son arbitrarios, la igualdad anterior se reduce a:
{\displaystyle \mathbf {R} ={\big (}\sum _{e}\mathbf {k} ^{e}{\big )}\mathbf {r} +\sum _{e}{\big (}\mathbf {Q} ^{oe}+\mathbf {Q} ^{te}+\mathbf {Q} ^{fe}{\big )}}
Comparando con (2) muestra que: En la práctica, las matrices de elementos ninguna es expandida o reordenada.
En lugar, la matriz de rigidez del sistema
es ensamblada añadiendo coeficientes individuales
donde los subindices ij, kl significan que los desplazamientos nodales de los elementos
coinciden respectivamente con los desplazamientos nodales del sistema
es ensamblado añadiendo coeficientes individuales
Esta adición directa de
da al procedimiento el nombre de Método de rigidez directa (Método matricial de la rigidez).