Logaritmo

Para representar la operación de logaritmo en una determinada base se escribe la abreviatura log y como subíndice la base, y después el número cuyo logaritmo se desea hallar o expresar.Los logaritmos, que hacen posible transformar una multiplicación en una suma, una división en una resta, una potencia en un producto y una raíz en una división, tuvieron gran importancia porque simplificaban los cálculos numéricos; hoy en día, con las calculadoras y los ordenadores, las operaciones con logaritmos han cambiado sustancialmente.[1]​ Se define el logaritmo como el proceso de hallar el exponente al cual fue elevada la base para obtener un número.Este hecho permite decir que, en su momento, el uso de logaritmos produjo un cambio revolucionario en los cálculos, empleados en la astronomía, navegación y matemática financiera aplicada a la banca y los negocios colaterales.Si hacemos k=x, obtendremos: El logaritmo más ampliamente utilizado es el natural, ya que tiene multitud de aplicaciones en física, matemáticas, ingeniería y en ciencias en general.[5]​ Este teorema establece que una función continua que produce dos valores m y n también produce cualquier valor que se encuentre entre m y n. Una función es continua si esta no «salta», esto es, si su gráfico puede ser escrito sin levantar el lápiz del papel.Por lo tanto, el teorema del valor intermedio asegura que la ecuación f(x) = y tiene una solución.La fórmula para el logaritmo de una potencia dice en particular que para cualquier número x, En lenguaje llano, tomando la x-ésima potencia de b y luego el base-b logaritmo se vuelve a obtener x.Así, las dos maneras posibles de combinar (o componer) logaritmos y exponenciales vuelve a dar el número original.Por lo tanto, el logaritmo en base b es la función inversa de f(x) = bx.Sus gráficos se corresponden el uno con el otro mediante el intercambio de las coordenadas x e y (o por reflexión sobre la línea diagonal x = y), como se muestra en la figura de la derecha: un punto (t, u = bt) sobre el gráfico de f proporciona un punto (u, t = logbu) sobre el gráfico del logaritmo y viceversa.Toscamente hablando, una función continua es diferenciable si su gráfico no tiene «trazos puntiagudos».En la ilustración de abajo, la descomposición corresponde a dividir el área en las partes azul y amarilla.Está estrechamente vinculada al logaritmo natural: cuando n tiende a infinito, la diferencia, converge (es decir, se aproxima arbitrariamente cerca) a un número conocido como constante de Euler-Mascheroni.Esta relación ayuda a analizar el rendimiento de algoritmos, como quicksort.Usando estas nociones, el teorema de Gelfond–Scheider declara que dados dos números algebraicos a y b, logb(a) es, o un número trascendente, o un número racional p / q (en cuyo caso aq = bp, de manera que, para empezar, a y b estaban estrechamente relacionados).[16]​[17]​ El método de Newton, un método iterativo para resolver ecuaciones aproximadamente, puede ser usado también para calcular el logaritmo, porque su función inversa, la función exponencial, puede ser calculada eficientemente.[19]​[20]​ Más aún, el algoritmo del logaritmo binario calcula lb(x) recursivamente basado en la repetición cuadrática de x, aprovechando la relación Para cualquier número real z que satisfaga 0 < z < 2, la siguiente serie de potencias se cumple:[nb 1]​[21]​ Esta es una manera rápida de decir que ln(z) puede ser aproximado a un valor más y más preciso mediante las siguientes expresiones: Por ejemplo, con z = 1.5 la tercera aproximación obtiene 0.4167, que es alrededor de 0.011 mayor que ln(1.5) = 0.405465.Esta serie aproxima ln(z) con precisión arbitraria, siempre que el número de sumandos sea lo suficientemente grande.Otra serie está basada en la función argumento de tangente hiperbólica: para cualquier número real z > 0.Converge más rápido que la serie de Taylor, especialmente si z es cercano a 1.La rápida convergencia para z cercano a 1 puede ser tomada como una ventaja de la siguiente manera.Un método íntimamente relacionado puede ser utilizado para calcular el logaritmo de enteros.ln(x) es aproximado con una precisión de 2−p (o p bits precisos) mediante la siguiente fórmula (dada por Carl Friedrich Gauss):[22]​[23]​ Aquí M denota la media aritmético-geométrica.Dado un número complejo z escrito en forma polar, una solución posible de la ecuación (*) es b0:admite no solo la solución dada anteriormente sino que cualquier x de la forma:Si el logaritmo está definido sobre el espectro o conjunto de autovalores y estos incluyen algún número negativo, aun así es posible definir una matriz logaritmo (en forma similar a como se definen los logaritmos de números negativos o complejos), aunque no resulta única.El método de cálculo mediante logaritmos fue propuesto por primera vez, públicamente, por John Napier (latinizado Neperus) en 1614, en su libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio.Joost Bürgi, un matemático y relojero suizo al servicio del duque de Hesse-Kassel, concibió por primera vez los logaritmos; sin embargo, publicó su descubrimiento cuatro años después que Napier.El término antilogaritmo fue introducido a finales del siglo XVII y, aunque nunca se utilizó ampliamente en matemáticas, perduró en muchas tablas, hasta que cayó en desuso.