En matemáticas, el lema de Itô es una identidad utilizada en cálculo de Itô para encontrar la diferencial de una función temporal dependiente de un proceso estocástico.Es una versión estocástica de la regla de la cadena del cálculo diferencial usual.El lema es ampliamente utilizado en matemáticas financieras y su aplicación más conocida es para obtener la ecuación de Black-Scholes.Una demostración formal del lema consiste en tomar el límite de una secuencia de variables aleatorias.Esta aproximación no es presentada aquí pues involucra un gran número de detalles técnicos.En cambio, damos un bosquejo de cómo uno puede obtener el lema de Itô expandiendo una serie de Taylor y aplicando las reglas de cálculo estocástico.es un proceso de Itô con drift que satisface la ecuación diferencial estocástica dondef ( t , x ){\displaystyle f(t,x)}es una función escalar dos veces diferenciable, su expansión en una serie de Taylor es Sustituyendod t +d t → 0tienden a cero más rápido que( d t )d t(por la variación cuadrática del Wiener proceso) y juntando los términosd tse dice que sigue un movimiento browniano geométrico con volatilidad constantey drift constantesi satisface la ecuación diferencial estocásticaAplicando el lema de Itô conobtenemos esto es de lo anterior se sigue que que es equivalente a El lema de Itô puede ser utilizado para obtener la ecuación de Black–Scholes para una opción.[1] Suponga que un precio accionario sigue un movimiento browniano geométrico dado por la ecuación diferencial estocástica, si el valor de la opción al tiempof ( t ,entonces por el lema de Itô
Un gráfico de una trayectoria de muestra de un proceso de Wiener, o movimiento browniano, B, junto con su integral de Itō con respecto a sí mismo. La integración por partes o lema de Itō muestra que la integral es igual a (B2 - t)/2.
