Movimiento browniano geométrico

El movimiento browniano geométrico (GBM) (también conocido como movimiento browniano exponencial) es un modelo de amplio uso en finanzas y sirve para representar el precio de algunos bienes que fluctúan siguiendo los vaivenes de los mercados financieros, en particular, es utilizado en matemáticas financieras para modelar precios en el modelo de Black-Scholes.

, se define el movimiento browniano geométrico como el proceso estocástico a tiempo continuo

que satisface la ecuación diferencial estocástica y puede ser escrito como donde

Para obtener la solución de la ecuación diferencial estocástica se requiere el uso del cálculo de Itô.

El movimiento Browniano geométrico dado por tiene una distribución log-normal con función de densidad dada por: para

La función de distribución acumulada está dada por para

Para hallar la media, varianza y covarianza del movimiento browniano geométrico, usaremos el hecho de que es la función generadora de momentos de una distribución normal con parámetros

La media del movimiento Browniano geométrico es pues La varianza del movimiento Browniano geométrico es pues La covarianza del movimiento Browniano geométrico es Para

-ésimo momento del proceso está dado por