En matemáticas, una integral de línea es aquella integral cuya función a integrar es evaluada sobre una curva.Los términos integral de curva, integral curvilínea e integral de trayectoria también son usados; integral de contorno también es usado aunque este término es típicamente usado para integrales de línea en el plano complejo.La función a ser integrada puede ser un campo escalar o un campo vectorial, también llamadas función escalar y función vectorial respectivamente.una curva suave a trozos parametrizada por una función(también llamada integral de trayectoria), está definida como La funciónes una parametrización biyectiva arbitraria deson los puntos iniciales y finales respectivamente., entonces obtenemos la longitud de la curvadenota la misma curva pero con orientación opuesta entonces Geométricamente, cuando el campo escalarz = f ( x , y )es grande, la longitud de arcoPor simplicidad, consideremos una circunferencia de radioun campo vectorial continuo en una regiónuna curva suave a trozos parametrizada por una función, la integral de línea del campo vectoriales el producto escalar y la funciónes una parametrización biyectiva arbitraria deson los puntos iniciales y finales respectivamente.denota la misma curva pero con orientación opuesta entonces{\displaystyle \mathbf {r'} (t)\neq \mathbf {0} ,\;\forall \;t\in [a,b]}si denota un vector tangente unitario a, por lo tanto Otra forma normalmente utilizada para escribir una integral de línea de un campo vectorial es la siguiente.{\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=\left(M,N\right)}Esta otra notación puede extenderse a campos vectoriales enes una curva cerrada simple entonces es común la notación y para la forma diferencial Sea, en este caso decimos queuna curva suave a trozos parametrizada por una funciónes una curva orientada cerrada y simple Lo anterior dice que cuandoEn otras palabras, si usamos otra trayectoria con los mismos punto inicial y final, seguiremos obteniendo el mismo resultado.es analítica la integral de línea posee propiedades interesantes y poco comunes como son el teorema integral de Cauchy-Goursat, la fórmula integral de Cauchy y el teorema de Liouville, cuyo resultado permite una prueba formal del importante teorema fundamental del álgebra.
Trayectoria de una partícula a lo largo de una curva dentro de un campo vectorial. En la parte inferior están los vectores del campo vistos por la partícula a medida que viaja por la curva. La suma de los productos escalares de esos vectores con el vector tangente de la curva en cada punto de la trayectoria da como resultado la integral de línea.
