Identidad de Beltrami

La identidad de Beltrami, que lleva el nombre del matemático italiano Eugenio Beltrami (1835-1900), es un caso especial de las ecuaciones de Euler-Lagrange en el cálculo de variaciones.La ecuación de Euler-Lagrange sirve para obtener un valor extremo de un funcional con la forma donde{\displaystyle u'(x)={\frac {du}{dx}}}, entonces la ecuación de Euler-Lagrange se reduce a la identidad de Beltrami,para obtener Según la regla del producto, el lado derecho equivale a Al realizar la integración en ambos lados y poner ambos términos en un lado, se obtiene la identidad de Beltrami, Un ejemplo de aplicación de la identidad de Beltrami es la curva braquistócrona, que implica encontrar la curvaque minimice la integral El integrando no depende explícitamente de la variable de integración, por lo que se aplica la identidad de Beltrami, Sustituyendo pory simplificando, que se puede resolver con el resultado expresado en forma de ecuación paramétrica siendola mitad de la constante anterior,Estas son las ecuaciones paramétricas de una cicloide.[3]​ Considérese una cuerda con densidad uniformePor la fórmula para la longitud de arco, dondees el arco de la cadena yson las condiciones de contorno.La curva tiene que minimizar su energía potencial: y está sujeta a la restricción dondeDebido a que la variable independienteno aparece en el integrando, la identidad de Beltrami se puede usar para expresar la forma de la cadena como una ecuación diferencial de primer orden separable dondeEs posible simplificar la ecuación diferencial de la forma siguiente: Al resolver esta ecuación se obtiene el coseno hiperbólico, dondees una segunda constante obtenida de la integración Las tres incógnitasse pueden resolver utilizando las restricciones para los puntos finales de la cadena y la longitud del arco, aunque a menudo es muy difícil obtener una solución de forma cerrada.