Un mediano es un vértice m(a,b,c) que pertenece a los caminos más cortos entre cualquier par de nodos conformado por a, b, y c. El concepto de grafo mediano ha sido largamente estudiado, por ejemplo, por Birkhoff y Kiss (1947) o (más explícitamente) por Avann (1961), pero el primer artículo en llamarlos "grafos medianos" aparece en Nebesk'y (1971).[4] Para ver esto, note que en un árbol, la unión de los tres caminos más cortos entre cualesquiera tres vértices a, b y c puede ser: Ejemplos adicionales de grafos medianos son los grafos reticulados (lattice graphs en inglés).Ningún grafo ciclo de tamaño distinto de cuatro puede ser un grafo mediano, porque cualquiera de esos ciclos tiene tres vértices a, b y c tales que los tres caminos más cortos involucran todas las posibilidades alrededor del ciclo sin lograr una intersección común.En un retículo distributivo, la siguiente operación mediana autodual de tres parámetros, descrita por Birkhoff:[7] satisface ciertos axiomas clave, que son compartidos con la mediana usual de números en el rango desde 0 a 1, y más en general con las álgebras medianas: La regla distributiva puede ser reemplazada por una regla asociativa:[8] La operación mediana puede también utilizarse para definir una noción de intervalos para retículos distributivos: El grafo de un retículo finito distributivo tiene una arista entre cualesquiera dos vértices a y b siempre que I(a,b) = {a,b}.Cualquier operación ternaria en un conjunto finito que satisface estas tres propiedades (pero no necesariamente tener elementos 0 y 1) da lugar en el mismo sentido a un grafo mediano.
El mediano de tres vértices en un grafo mediano.
El mediano
m
(
a
,
b
,
c
) de tres vértices
a
,
b
y
c
en un
árbol
, mostrando el subárbol formado por la unión de los
caminos más cortos
entre dichos vértices.
