Un ciclo o circuito euleriano es un camino cerrado que recorre cada arista exactamente una vez.La palabra ciclo se emplea en teoría de grafos para indicar un camino cerrado en un grafo, es decir, en que el nodo de inicio y el nodo final son el mismo, como contrapartida un camino hamiltoniano es un camino que recorre todos los vértices de un grafo sin pasar dos veces por el mismo vértice.Si el camino es cerrado se dice un ciclo hamiltoniano.Se elige para iniciar el trazo cualquier punto impar y se terminará en el otro punto o vértice impar.El problema se enuncia de la siguiente forma: Dos islas en el río Pregel, en Königsberg se unen entre ellas y con la tierra firme mediante siete puentes.Euler demostró que no era posible puesto que el número de líneas que inciden en cada punto no es par (condición necesaria para entrar y salir de cada punto, y para regresar al punto de partida, por caminos distintos en todo momento).En caso de que todos los vértices tengan grado par,A continuación se mostraran los pasos necesarios para este algoritmo: Usando estas estructuras de datos como doblemente unidas para mantener un conjunto de lados incidentes no usados en cada vértice, una lista de vértices del recorrido actual y mantener el recorrido en sí mismo es necesario buscar un nuevo vértice para el recorrido, y conectar ambos al mismo vértice, de manera que la ejecución de ambos pueda llevarse a cabo de manera conjunta y la complejidad final del algoritmo sea lineal (O(E)) sobre la cantidad de aristas.En dicho teorema se menciona que dado un dígrafo euleriano G := (V, E), el número ciclos eulerianos no-equivalentes en el grafo es o equivalentemente siendo C cualquier cofactor de la matriz laplaciana de G.
Dibujar un sobre abierto, como el de la imagen, sin levantar el lápiz del papel ni pasar dos veces por el mismo sitio, es posible. En cambio, dibujar el sobre cerrado (prescindiendo del punto 5 y sus líneas adyacentes) es imposible.
