En teoría de grafos la matriz laplaciana — también denominada matriz de admitancia o matriz de Kirchhoff — es una representación matricial de un grafo.
Otro tipo de representación matricial la proporciona la matriz de adyacencia, pero la matriz laplaciana es ideal para realizar la teoría espectral de grafos.
Dado un grafo G con n nodos, la matriz laplaciana
{\displaystyle L:=(\ell _{i,j})_{n\times n}}
el grado del nodo i-ésimo
La matriz laplaciana normalizada
{\displaystyle {\mathcal {L}}:=({\hat {\ell }}_{i,j})_{n\times n}}
se define como:[1] Tomando
como la matriz diagonal de elementos
, se tiene que: con la convención
es k-regular se puede observar que: donde
es la matriz de adyacencias y
Para un grafo sin vértices aislados, tenemos entonces que: Ejemplo de la representación en forma de grafo de una red y su representación matricial laplaciana: Para un grafo
y matriz laplaciana
, con los autovalores ordenados (el espectro de