[1]​[2]​ De los cuatro parámetros que definen una distribución estable, el más significativo es el parámetro de estabilidad, α (ver ficha lateral).

El valor α = 1 corresponde a la distribución de Cauchy.

Por el clásico teorema del límite central la suma de un conjunto de variables con idéntica distribución e independientes y que además tenga varianza finita, tenderá a una distribución normal a medida que el número de variables que interviene en la suma crece.

Sin la restricción de varianza finita, el teorema del límite central no será aplicable, pero la suma de esas variables tenderá hacia una distribución estable (α < 2).

Mandelbrot usó el término para distribuciones estables "positivas" (es decir, máximamente asimétricas hacia la dirección positiva) con 1<α<2 como "distribuciones de Pareto-Lévy".

Más aún, Lévy demostró que el conjunto de todas las distribuciones estables puede representarse como una familia dada por cuatro parámetros de distribuciones continuas.

Aunque la densidad de probabilidad de estas distribuciones estables no admite una fórmula analítica cerrada (expresable en términos de funciones elementales), sin embargo, su función característica si admite una fórmula analítica cerrada.

Una variable aleatoria X es estable si su función característica puede escribirse como[6]​[7]​

φ ( t ; α , β , c , μ ) = exp ⁡

Nótese que en este contexto la asimetría "usual" no está bien definida, cuando α < 2 ya que la distribución no admite moments de segundo orden ni superiores (pero la asimetría usual usa en su definición el tercer momento central).

Al sumar dos variables aleatorias que tienen una distribución estable se obtiene otra variable con los mismos valores de α y β, pero posiblemente valores diferentes de μ y c (cambia la localización y la escala, pero no la el parámetro de estabilidad ni el parámetro de asimetría).

No cualquier función es la función característica de una distribución de probabilidad legítima, ya que una función de distribución real varía entre 0 y 1 son decrecer, pero la función caractecterística dada anteriormente podría no ser adecuada si los pámetros no están dentro del rango adecuado.

En el caso más sencillo β = 0, la función característica es simplemente una función exponencial estirada, la distribución es simétrica alrededor de μ y en ese caso se denomina distribución α-estable simétrica de Lévy, frecuentemente abreviada como SαS.