En álgebra, un cuerpo pitagórico es un cuerpo en el que cada suma de dos cuadrados es un cuadrado: equivalentemente tiene un número de Pitágoras igual a 1.
Una extensión pitagórica de un cuerpo
es una extensión de cuerpos obtenida al adjuntar un elemento
que lo contiene, único salvo isomorfismo, llamado su clausura pitagórica.
[1] El cupero de Hilbert es el cuerpo ordenado pitagórico más pequeño posible que contiene a los números racionales.
[2] Cada cuerpo euclídeo (un cuerpo ordenado en el que todos los elementos no negativos son cuadrados) es un cuerpo pitagórico ordenado, pero el recíproco no siempre se cumple.
hay una sucesión exacta que involucre al anillos de Witt:
sea pitagórica: Los cuerpos pitagóricos se pueden usar para construir modelos para algunos de los axiomas de Hilbert para la geometría (Iyanaga y Kawada, 1980, 163 C).
Sin embargo, en general, esta geometría no necesita satisfacer todos los axiomas de Hilbert a menos que el cuerpo
tenga propiedades adicionales: por ejemplo, si el cuerpo también está ordenado, entonces la geometría satisfará los axiomas de orden de Hilbert, y si el cuerpo también es completo, la geometría satisfará el axioma de completitud de Hilbert.
La clausura pitagórica de un cuerpo ordenado no arquimediano, como la clausura pitagórica del cuerpo de funciones racionales
puede usarse para construir geometrías no arquímedianas que satisfagan muchos de los axiomas de Hilbert pero no su axioma de completitud.
[10] Dehn usó tal cuerpo para construir dos planos de Dehn, ejemplos de geometría no-legendriana y geometría semi-euclidiana respectivamente, en la que hay muchas líneas a través de un punto que no interseca una línea dada pero donde la suma de los ángulos de un triángulo es al menos π.
[11] Este teorema establece que si E/F es una extensión de cuerpos finita, y E es pitagórico, entonces también lo será F.[12] Como consecuencia, ningún cuerpo de números algebraicos es pitagórico, ya que todos estos cuerpos son finitos sobre
[13] Un cuerpo superpitagórico F es un cuerpo formalmente real con la propiedad de que si S es un subgrupo del índice 2 en F∗ y no contiene −1, entonces S define un orden en F. Una definición equivalente es que F es un cuerpo formalmente real en el que el conjunto de cuadrados forma un abanico.
[12] El análogo del teorema de Diller-Dress es el siguiente: si E/F es una extensión finita y E es superpitagórica, entonces también lo es F.[14] En la dirección opuesta, si F es superpitagórico y E es un cuerpo formalmente real que contiene F y está contenido en el cierre cuadrático de F entonces E es superpitagórico.