Cuasicírculo

Originalmente introducidas de forma independiente por Pfluger (1961) y Tienari (1962), en la bibliografía más antigua (en alemán) se las denominaba curvas cuasiconformales, una terminología que también se aplicaba a los arcos.

[7]​ Para las curvas de Jordan en el plano extendido que pasa por el ∞,Ahlfors (1966) dio una condición más simple necesaria y suficiente para ser un cuasicírculo.

La correspondencia anterior muestra que el espacio de los cuasicírculos también se puede tomar como modelo.

Como Carathéodory había demostrado usando su teoría de finales primos, f se extiende continuamente al círculo unitario si y solo si ∂Ω está conectado localmente, es decir, admite un recubrimiento mediante un número finito de conjuntos conectados compactos de diámetro arbitrariamente pequeño.

La extensión del círculo es 1-1 si y solo si ∂Ω no tiene puntos de corte, es decir, puntos que cuando se eliminan de ∂Ω producen un conjunto no conexo.

[12]​ Si f se extiende a una aplicación cuasiconformal del plano complejo extendido, entonces ∂Ω es por definición un cuasicírculo.

El grupo α(Γ) es un grupo cuasi-fuchsiano con límite establecido en el cuasicírculo dado por la imagen del círculo unitario bajo f. Se sabe que hay cuasicírculos para los que ningún segmento tiene una longitud finita.

Cuando d < 2, la cantidad es el valor propio más bajo del laplaciano de la correspondiente 3-variedad hiperbólica.