Coordenadas de Born

es un vector unitario ligado al tiempo, mientras que los otros tres son vectores unitarios geométricos; en cada caso, los cuatro son mutuamente ortogonales y determinan el marco de Lorentz infinitesimal del observador estático cuya línea del mundo pasa a través de ese evento.

Al mismo tiempo, impulsando estos campos de referencia en la dirección

, se obtiene el campo de referencia buscado que describe la experiencia física de los observadores de Langevin, a saber, Al parecer, este marco se introdujo por primera vez (implícitamente) por Paul Langevin en 1935; su primera 'utilización' 'explícita' parece haber sido efectuada por T. A. Weber (¡en una fecha tan posterior como 1997!)

, se obtiene una curva que podría esperarse interpretar como una "línea de simultaneidad" para los observadores situados en el anillo.

Este es el primer indicio de que no es tan fácil como se podría esperar el definir una noción satisfactoria de geometría espacial en algo tan sencillo a priori como un anillo giratorio, y mucho menos en un disco en rotación.

ortogonales a las líneas del mundo de los observadores estáticos da un círculo, que por supuesto es una curva cerrada.

forman un espacio tipo Killing, cuyas curvas integrales son curvas cerradas de tipo espacial (círculos, de hecho), que degeneran, además, a la longitud cero en el eje R = 0.

En la figura, la curva de color magenta muestra cómo los vectores espaciales

De hecho, resulta que esto es posible, en cuyo caso se dice que la congruencia es de hipersuperficie ortogonal , si y solo si el vector rotación se anula idénticamente.

Por lo tanto, mientras que los observadores estáticos en el gráfico cilíndrico admiten una familia única de '

Para entender mejor este punto crucial, téngase en cuenta que las curvas integrales del tercer sistema de vectores de Langevin que pasan a través del radio

En segundo lugar, como muestra la figura, el intento de sección llevaría a una idea discontinua del tiempo debido a los saltos en las curvas integrales (que se muestran como una discontinuidad color naranja).

Se desea calcular el tiempo del viaje de ida y vuelta, según lo medido por un observador en el anillo, para un pulso de láser enviado en sentido horario y otro antihorario alrededor del cable.

En el gráfico cilíndrico, las ecuaciones geodésicas son Se obtienen inmediatamente las integrales primeras Al conectar estos en la expresión obtenida a partir del elementos de línea mediante el establecimiento de

hyperslice espacial) es, por supuesto, una línea recta, dada por Para obtener el radio mínimo de la recta que pasa por dos puntos (en el mismo lado del punto de máxima aproximación al origen), se resuelve lo que da Considérese ahora el caso de las geodésicas nulas radiales, mucho más simple.

Una geodésica nula radial de ida se puede escribir en la forma Transformada al sistema de Born, la trayectoria se puede escribir como y del mismo modo para geodésicas nulas radiales con destino hacia el interior.

(En una sección posterior se verá que en el diagrama de Born, estas trayectorias no pueden designarse propiamente como "proyecciones".)

Téngase en cuenta que, para enviar un pulso de láser hacia el observador estacionario en R = 0, los observadores de Langevin tienen que apuntar ligeramente por delante para corregir su propio movimiento.

Tal vez la más simple de éstas sea la distancia del radar.

En el evento C se envía un pulso de radar hacia el anillo, que golpea la línea del universo de un observador sobre el anillo en A 'y luego regresa al observador central en el evento DO".

A continuación, divide el tiempo transcurrido (según lo medido por un reloj ideal que lleva) por dos.

Por lo tanto, aunque la distancia de radar tiene importancia para las operaciones simples, ni siquiera es simétrica.

Solo para aclarar este punto crucial, se van a comparar las distancias de radar obtenidas por dos observadores sobre el anillo con coordenada radial R = R0.

Tiene solo una componente independiente no trivial, Por lo tanto, en cierto sentido, la geometría de un disco giratorio es curva, según aventuró Theodor Kaluza (sin pruebas) ya en 1910.

Para concluir este punto importante, se va a utilizar la métrica de Landau-Lifshitz para calcular la distancia entre un observador de Langevin sobre un anillo con radio R0 y un observador estático central.

Para ello, solo se tiene que integrar la línea del elemento sobre la trayectoria geodésica nula adecuada.

Los valores dados por este concepto son intermedios entre las distancias de radar calculadas en la sección anterior.

(En la feliz expresión de Howard Percy Robertson, esto es kinematics im kleinem (cinemática a pequeña escala).)

En todos estos casos, sin embargo, lo más probable es obtener resultados que son incompatible con cualquier métrica de Riemann.

En particular, si se utiliza la noción simple de distancia, distancia del radar, debido a diversos efectos tales como la asimetría, como ya se ha señalado, llegarán a la conclusión de que la "geometría" del disco no solamemte no es euclidiana, si no que tampoco es de Riemann.

Geometría espaciotemporal de las coordenadas de Born. Las líneas rojas representan las líneas del mundo (por congruencia) de los puntos del disco. Las bandas entrelazadas azules y grises muestran el paso del tiempo T . Las curvas naranjas ( / \ ) son como curvas de tiempo con radio R fijo.
Parte de la línea del mundo helicoidal de un típico observador de Langevin (curva roja), representada en el sistema cilíndrico, con sus conos del horizonte de sucesos futuros (color dorado) y con los vectores de sus sistemas de referencia de Langevin (trazos negros). En esta figura, la coordenada Z no es esencial y ha sido suprimida. El cilindro blanco muestra un lugar de radio constante; la línea verde discontinua representa el eje de simetría R=0. La línea azul es una curva integral del vector unitario del azimut.'"`UNIQ--postMath-00000008-QINU`"'.
Parte de la línea del mundo helicoidal de un típico observador de Langevin (curva roja), representada en el sistema cilíndrico, con sus conos del horizonte de sucesos futuros (color dorado) y con los vectores de sus sistemas de referencia de Langevin (trazos negros). En esta figura, la coordenada Z no es esencial y ha sido suprimida. El cilindro blanco muestra un lugar de radio constante; la línea verde discontinua representa el eje de simetría R=0. La línea azul es una curva integral del vector unitario del azimut. .
Esta figura representa las líneas del mundo de un observador de Langevin de referencia (curva roja) y de sus vecinos próximos (curvas azules de puntos). Se muestra un cuarto de giro de la órbita del observador de referencia alrededor del eje de simetría (línea verde vertical).
Esta figura representa las líneas del mundo de un observador de Langevin de referencia (curva roja) y de sus vecinos próximos (curvas azules de puntos). Se muestra un cuarto de giro de la órbita del observador de referencia alrededor del eje de simetría (línea verde vertical).
Un intento de definir la noción del "espacio en cada instante" para los observadores de Langevin, representado en el sistema de Born. Este intento está condenado a fallar por al menos dos razones. La figura representa la región 0 < r < 1 cuando ω = 1/5, con una discontinuidad en φ = π. El radio con el que se han formado las curvas integrales para formar la superficie empieza con φ=0 (en el lado más alejado de la imagen).
Un intento de definir la noción del "espacio en cada instante" para los observadores de Langevin, representado en el sistema de Born. Este intento está condenado a fallar por al menos dos razones. La figura representa la región 0 < r < 1 cuando ω = 1/5, con una discontinuidad en φ = π. El radio con el que se han formado las curvas integrales para formar la superficie empieza con φ=0 (en el lado más alejado de la imagen).
Algunas trayectorias radiales geodésicas nulas (curvas marrones) representadas en un sistema de Born. La trayectoria de un observador de Langevin orbitando en sentido de las agujas del reloj y radio R = R0 (por ejemplo, rotando con el anillo en sentido de las agujas del reloj), también se muestra (círculo azul).
Algunas trayectorias radiales geodésicas nulas (curvas marrones) representadas en un sistema de Born. La trayectoria de un observador de Langevin orbitando en sentido de las agujas del reloj y radio R = R 0 (por ejemplo, rotando con el anillo en sentido de las agujas del reloj), también se muestra (círculo azul).
Un arco de geodésica nula, representado en el sistema de Born, que modeliza una señal enviada entre dos observadores girando con el anillo. Las líneas del mundo de estos observadores son las líneas verticales azules; el centro de simetría es la línea vertical verde. Nótese que la geodésica nula se dobla suavemente hacia dentro.
Un arco de geodésica nula, representado en el sistema de Born, que modeliza una señal enviada entre dos observadores girando con el anillo. Las líneas del mundo de estos observadores son las líneas verticales azules; el centro de simetría es la línea vertical verde. Nótese que la geodésica nula se dobla suavemente hacia dentro.
Esta figura esquemática ilustra la noción de distancia de radar entre un observador sobre un anillo en rotación y un observador central en reposo (con la misma coordenada Z).
Esta figura esquemática ilustra la noción de distancia de radar entre un observador sobre un anillo en rotación y un observador central en reposo (con la misma coordenada Z).
Esta figura esquemática ilustra la distancia de radar entre dos observadores de Langevin sobre el anillo con radio R0 que está rotando con velocidad angular ω. En el diagrama del lado izquierdo, el anillo está rotando en sentido contrario al de las agujas del reloj; en el diagrama de la derecha, rota en sentido de las agujas del reloj.
Esta figura esquemática ilustra la distancia de radar entre dos observadores de Langevin sobre el anillo con radio R 0 que está rotando con velocidad angular ω. En el diagrama del lado izquierdo, el anillo está rotando en sentido contrario al de las agujas del reloj; en el diagrama de la derecha, rota en sentido de las agujas del reloj.