En relatividad especial, una partícula uniformemente acelerada lleva un movimiento hiperbólico.Para cada partícula puede escogerse un marco de Rindler para el cual esta se encuentra en reposo.Las curvas integrales del campo de vectores unitarios tipo tiempoComo con cualquier congruencia tipo tiempo en cualquier variedad Lorentziana, esta congruencia tiene una descomposición cinemática (ver ecuación de Raychaudhuri).El vector aceleración de cada observador viene dado por la derivada covariante Esto es, cada observador de Rindler está acelerando en la direcciónen el elemento de línea, vemos que estas tienen la geometría eclidiana ordinaria,Nótese que los observadores de Rindler con coordenada x más pequeña y constante.¡están acelerando más fuerte para mantenerse al mismo nivel!Esto puede parecer sorprendente porque en física newtoniana, los observadores que mantienen distancia relativa constante deben compartir la misma aceleración.Pero en física relativista, vemos que el extremo trasero de una barra que está accelerada por alguna fuerza externa (paralela a su eje de simetría) debe acelerar un poco más fuerte que el extremo delantero, o si no eventualmente se romperá.En todo caso, es una simple consecuencia de la cinemática relativista., encontramos que la expansión y la vorticidad de nuevo se anulan, y además el vector aceleración también se anula,En otras palabras, esta es una congruencia geodésica; los observadores correspondientes están en un estado de movimiento inercial.Esto muestra explícitamente por qué la carta de Rindler no es geodésicamente completa; geodésicas tipo tiempo salen fuera de la región cubierta por la carta en un tiempo propio finito.Por supuesto, sabemos que la carta de Rindler no puede ser geodésicamente completa, porque solamente cubre una parte de la carta cartesiana original, que es geodésicamente completa.y hemos dibujado (correctamente escalado) los conos de luz en, donde el tensor métrico (expresado en las coordenadas de Rindler) tiene un determinante nulo.Como podemos ver por la figura que ilustra la cuña de Rindler, el locusen la carta cartesiana, que consiste en dos semiplanos nullos, cada uno regido por una congruencia geodésica nula.Las ecuaciones geodésicas en la carta de Rindler son fácilmente obtenidas del lagrangiano; son Por supuesto, en la carta cartesiana original, las geodésicas aparecen como líneas rectas, por lo que podemos obtenerlas fácilmente en la carta de Rindler usando la transformación de coordenadas.diferente de cero, vemos que la coordenada x varía en el intervalo), obtenemos un dibujo que se parece sospechosamente a la familia de todas las semicircunferencias que atraviesan un punto ortogonales al horizonte de Rindler (ver figura).En este caso, tenemos una familia definida unívocamente de hiperrebanadas espaciales (idénticas) ortogonal a los correspondientes observadores estáticos (quienes no necesitan ser observadores inerciales).Esto nos permite definir una nueva métrica en cualquiera de estas hiperrebanadas que está conformemente relacionada con la métrica original heredada del espaciotiempo, pero con la propiedad de que las geodésicas en la nueva métrica (nótese que esta es una métrica Riemanniana en una 3-variedad Riemanniana) son precisamente las proyecciones de las geodésicas nulas del espaciotiempo.es simplemente (donde los coeficientes métricos se entiende que son evaluados enDejamos como ejercicio ver cómo estos están relacionados con los generadores estándar; aquí deseamos señalar que deberíamos ser capaces de obtener generadores equivalentes aen la carta cartesiana, pero la cuña de Rindler es obviamente no invariante bajo esta traslación.La respuesta es que como cualquier cosa definida por un sistema de ecuaciones en derivadas parciales en una variedad suave, la ecuación de Killing tendrá en general soluciones localmente definidas, pero estas pueden no existir globalmente.Esto es, con las restricciones apropiadas en el parámetro de grupo, un flujo de Killing puede siempre ser definido en un apropiado vecindario local, pero el flujo puede no estar bien definido globalmente.Esto no tiene nada que ver con las variedades lorentzianas per se, ya que lo mismo ocurre en el estudio de las variedades suaves en general.
Algunos observadores de Rindler representativos (arcos hiperbólicos azul marino) dibujados usando la carta cartesiana.
Un observador de Minkowski representativo (curva hiperbólica secante azul marino) dibujada usando la carta de Rindler. El horizonte de Rindler está mostrado en rojo.
Algunas geodésicas nulas representativas (arcos de hipérbola semicirculares negros) proyectados en la hiperrebanada espacial t=0 de los observadores de Rindler. El horizonte de Rindler está mostrado como un plano magenta.
