En matemáticas, en particular en teoría de la medida, un contenido
tal que Es decir, un contenido es una generalización de una medida: mientras que esta última debe ser contablemente aditiva, la primera sólo debe ser finitamente aditiva.
se elige para que sea un anillo de conjuntos o que sea al menos un semianillo de conjuntos, en cuyo caso se pueden deducir algunas propiedades adicionales que se describen a continuación.
Por este motivo algunos autores prefieren definir contenidos sólo para el caso de semianillos o incluso anillos.
Si un contenido es adicionalmente σ -aditivo se llama premedida y si además
Por tanto, toda medida (de valor real) es un contenido, pero no al revés.
Los contenidos dan una buena noción de cómo integrar funciones acotadas en un espacio, pero pueden comportarse mal cuando se integran funciones ilimitadas, mientras que las medidas dan una buena noción de cómo integrar funciones ilimitadas.
Un ejemplo clásico es definir un contenido en todos los intervalos medio abiertos.
estableciendo su contenido a la longitud de los intervalos, es decir,
Además, se puede demostrar que este contenido es en realidad σ -aditivo y, por tanto, define una medida previa en el semianillo de todos los intervalos semiabiertos.
Para obtener más detalles sobre la construcción general, consulte el artículo sobre la medida de Lebesgue.
A continuación, se puede dar un ejemplo de un contenido de los números enteros positivos que siempre es finito pero que no es una medida.
entonces lo funcional en algún sentido da un "valor promedio" de cualquier secuencia acotada.
(Tal funcional no puede construirse explícitamente, pero existe según el teorema de Hahn-Banach).
Con frecuencia, los contenidos se definen en colecciones de conjuntos que satisfacen restricciones adicionales.
En este caso, se pueden deducir propiedades adicionales que no se cumplen en general para los contenidos definidos en cualquier colección de conjuntos.
forma un Semiring de conjuntos entonces se pueden deducir las siguientes afirmaciones: si además
es un Anillo de conjuntos uno obtiene, además: En general la integración de funciones con respecto a un contenido no se comporta bien.
Sin embargo, existe una noción de integración que se comporta bien siempre que la función sea acotada y el contenido total del espacio sea finito, dado lo siguiente.
Supongamos que el contenido total de un espacio es finito.
y donde el límite se toma como los diámetros de los conjuntos
forman un espacio de Banach con respecto a la norma suprema.
Los elementos positivos del dual de este espacio corresponden a contenidos acotados
como arriba, no construido a partir de contenidos.
Dado λ como arriba, definimos una función μ en todos los conjuntos abiertos por
Este tiene las siguientes propiedades: Dado μ como arriba, extendemos la función μ a todos los subconjuntos del espacio topológico por
Esta es una medida exterior, es decir que tiene las siguientes propiedades: La función μ anterior es una medida externa de la familia de todos los subconjuntos.
Por lo tanto, se convierte en una medida cuando se restringe a los subconjuntos medibles para la medida exterior, que son los subconjuntos
Si el espacio es localmente compacto, entonces cada conjunto abierto es mensurable para esta medida.
es regular en el sentido de que para cualquier compacto