[3] La constante de Madelung permite el cálculo del potencial eléctrico Vi en la posición ri debido a los iones en las posiciones rj: donde rij =|ri - rj| es la distancia entre los iones i-ésimo y j-ésimo.Además, Si se normalizan las distancias rij a la distancia del vecino más cercano r0, el potencial se puede escribir dondeátomos, por lo que sería un cristal del orden de miligramos, aún microscópico.En un cristal infinito los átomos sólo se diferencian por su tipo y por el lugar que ocupen en la celdilla elemental, ya que no hay átomos más cercanos al borde que otros.En dicha estructura cristalina hay una constante de Madelungpor cada ion que ocupe un sitio distinto en la red.Ya que ambos iones, sin embargo, ocupan sitios de la red con la misma simetría ambos tienen la misma magnitud y difieren solo en el signo.La distancia a primeros vecinos es la mitad del parámetro de red de la celda unidad cúbicay la constante de Madelung queda La prima indica que se excluye el términoEl último, a pesar de que no hay cristales esféricos, es el más popular debido a su simplicidad.Por ello, el siguiente desarrollo se encuentra frecuentemente en la literatura:[4] Sin embargo, esto es incorrecto ya que estas series divergen como demostró Emersleben en 1951.[5][6] El límite de los cubos converge al valor correcto.Borwein, Borwein y Taylor dan una definición matemática sin ambigüedad por medio de la extensión analítica de series absolutamente convergentes.Hay muchos métodos prácticos para calcular la constante de Madelung ya sea usando una suma directa (por ejemplo, el método de Evjen[7]) o una transformada integral en el método de Ewald.Esto es correcto si la distribución de electrones del ion tiene simetría esférica.En consecuencia, la constante de Madelung solo representa el término monopolo-monopolo.En su caso, en lugar de la distancia vecina más cercana, se usa otra longitud estándar como la raíz cúbica del volumen de la celda unidadIzgorodina y su equipo han descrito un método generalizado (llamado el método de EUGEN) para calcular la constante de Madelung para cualquier estructura cristalina.
Cálculo de la constante de Madelung para el ion de
NaCl
etiquetado 0 en el método de expansión de esferas. Cada número designa el orden en que se suma. Tenga en cuenta que en este caso, la suma es divergente, pero hay métodos para sumar que dan una serie convergente.
Esta gráfica demuestra la no-convergencia del método de expansión de las esferas para calcular la constante de Madelung para el NaCl al compararla con el método de expansión de los cubos, el cual es convergente.
