En sistemas dinámicos y teoría ergódica, el concepto de conjunto errante formaliza una cierta idea de movimiento y mezcla en tales sistemas.
Esto es muy opuesto a un sistema conservativo, para el cual se aplican las ideas del teorema de recurrencia de Poincaré.
Intuitivamente, la conexión entre conjuntos errantes y disipación se comprende fácilmente: si una parte del espacio de fase "se aleja" durante la evolución temporal normal del sistema y nunca se vuelve a visitar, entonces el sistema es disipativo.
El lenguaje de los conjuntos errantes se puede utilizar para dar una definición matemática precisa al concepto de sistema disipativo.
se dice que es un punto errante si hay un entorno U de x y un entero positivo N tal que para todos
, el mapa iterado no se cruza: Una definición más práctica solo requiere que la intersección tenga medida cero.
Para ser precisos, la definición requiere que X sea un espacio de medida, es decir, parte de un triple
Del mismo modo, un sistema de tiempo continuo tendrá un mapa
siendo una acción grupal abeliana continua de un parámetro en X: En tal caso, un punto errante
, el conjunto se llama trayectoria u órbita del punto x.
se llama un punto errante si existe una vecindad U de x y una vecindad V de la identidad en
no es errante si, para cada conjunto abierto U que contiene x y cada N > 0, hay algo de n > N tal que Se siguen definiciones similares para las acciones grupales de tiempo continuo y discretas y continuas.
Más precisamente, un subconjunto W de
es un conjunto errante bajo la acción de un grupo discreto
la intersección es un conjunto de medida cero.
se dice que es disipativa, y el sistema dinámico
se dice que es un sistema disipativo.
Si no existe tal conjunto errante, se dice que la acción es conservativa y el sistema es un sistema conservador.
se dice que es completamente disipativa si existe un conjunto errante W de medida positiva, tal que la órbita
, es decir, si es un conjunto de medida cero.
La descomposición de Hopf establece que cada espacio de medida con una transformación no singular se puede descomponer en un conjunto conservador invariante y un conjunto errante invariante.