Conjetura de Keller
Un avance de Lagarias y Shor (1992) demostró que es falso en diez o más dimensiones, y después de refinamientos posteriores, ahora se sabe que es verdadero en espacios de dimensión siete como máximo y falso en todas las dimensiones superiores.
La conjetura del teselado cúbico reticulado de Minkowski, una cuestión relacionada, establece que siempre que un teselado del espacio con cubos idénticos tiene la propiedad adicional de que los centros de los cubos forman un retículo, algunos cubos deben encontrarse cara a cara.
Más formalmente, una familia de conjuntos cerrados, llamadas teselas, forma un teselado si su unión es el espacio completo y cada dos conjuntos distintos de la familia tienen interiores separados.
Como Szabó (1986) formuló el problema, un teselado cúbico es un teselado formado por hipercubos congruentes, en el que además se requiere que cualquier par de teselas puedan hacerse corresponder entre sí únicamente mediante traslaciones, sin necesidad de rotación alguna, o equivalentemente, que tengan todos sus lados paralelos a los ejes del sistema de coordenadas del espacio.
No todos los mosaicos formados por cubos congruentes tienen esta propiedad; por ejemplo, el espacio tridimensional puede estar revestido por láminas bidimensionales de cubos que están girados en ángulos arbitrarios entre sí.
Al formular el mismo problema, Shor (2004) consideró todas las teselas del espacio mediante hipercubos congruentes, y afirmó sin demostrarlo que la suposición de que los cubos son paralelos a los ejes coordenados se puede sumar sin pérdida de generalidad.
[1] La versión original de la conjetura expuesta por Keller abordaba una afirmación más contundente: cada teselado cúbico tiene una columna de cubos que se encuentran cara a cara.
Esta versión del problema es verdadera o falsa para las mismas dimensiones que su formulación más comúnmente estudiada.
[2] Es una parte necesaria de la conjetura que todos los cubos del teselado sean congruentes entre sí, ya que si se permiten cubos de tamaños desiguales, entonces el teselado pitagórico sería un contraejemplo en dos dimensiones.
[3] Oskar Perron[4][5] demostró que la conjetura de Keller era cierta en como máximo seis dimensiones.
Con esta definición, la conjetura reformulada de Hajós es que siempre que un grupo abeliano tiene una factorización en la que el primer conjunto A0 puede ser arbitrario pero cada conjunto posterior Ai toma la forma especial {0, gi, 2gi, 3gi, ..., (|Ai| − 1)gi} para algún elemento gi de Ai, entonces al menos un elemento |Ai|gi debe pertenecer a A0 −A0 (el conjunto diferencia de A0 consigo mismo).
Esto, unido al hecho de que no se superponen, implica que los cubos colocados de esta forma teselan el espacio sin encontrarse cara a cara.
Una segunda conjetura relacionada, planteada por Furtwängler en 1936, relaja la condición de que los cubos formen un teselado.
Además, combinando las conjeturas de Furtwängler y Keller, Robinson demostró que los recubrimientos cuadrados de k lóbulos del plano euclídeo deben incluir dos cuadrados que se encuentren borde a borde.
En 1975, Ludwig Danzer e independientemente Branko Grünbaum y G. C. Shephard encontraron un teselado del espacio tridimensional mediante paralelepípedos con ángulos de cara de 60° y 120°, en los que no hay dos paralelepípedos que compartan una cara.
