Cónica generalizada

La curva obtenida cuando el conjunto de dos puntos fijos es reemplazado por un conjunto finito arbitrario, pero fijo, de puntos en el plano se denomina n–elipse y puede considerarse como una elipse generalizada.En coordenadas cartesianas rectangulares, la ecuación y = x2 representa una parábola.[1]​ Entre las varias formas posibles en que el concepto de una cónica se puede generalizar, el enfoque más utilizado es definirla como una generalización de la elipse.La curva obtenida reemplazando el conjunto de dos puntos fijos por un conjunto finito arbitrario, pero fijo, de puntos en el plano se puede considerar como una elipse generalizada.Las cónicas generalizadas con tres focos se llaman elipses trifocales.Todavía es posible una generalización adicional, suponiendo que los pesos asociados a las distancias pueden ser de signo arbitrario, es decir, positivos o negativos.Se puede suponer que el conjunto es finito o infinito.En el caso infinito, la media aritmética ponderada tiene que ser reemplazada por una integral apropiada.Dado que dichas curvas fueron estudiadas por el matemático alemán Ehrenfried Walther von Tschirnhaus (1651-1708) también se las conoce como óvalos de Tschirnhaus.[2]​ Dichas generalizaciones también fueron analizadas por René Descartes[3]​ y por James Clerk Maxwell.[4]​ René Descartes (1596-1650), padre de la geometría analítica, en su obra La Geometrie publicada en 1637, dedicó una sección de aproximadamente 15 páginas para analizar lo que él había llamado elipses bifocales.Descartes había introducido estos óvalos, que ahora se conocen como óvalos cartesianos, para determinar las superficies de una lente de modo que los rayos se encuentren en el mismo punto tras refractarse.Descartes también había identificado estos óvalos como generalizaciones de las cónicas centrales, porque para ciertos valores de λ estos óvalos se reducen a las cónicas centrales familiares, a saber, el círculo, la elipse o la hipérbola.[3]​ Los óvalos multifocales fueron redescubiertos por James Clerk Maxwell (1831-1879) cuando todavía era un estudiante de escuela.[4]​[5]​ En su artículo, aunque Maxwell no utilizó el término "cónica generalizada", estaba considerando curvas definidas por condiciones que fueron generalizaciones de la condición definitoria de una elipse., λn son números racionales fijos y c es una constante.Maxwell ideó métodos simples utilizando alfileres, lápiz y una cuerda para dibujar tales óvalos.ilustra el enfoque general adoptado por Maxwell para representar tales curvas: Su disposición es más evidente en su descripción del método para dibujar un óvalo trifocal definido por una ecuación de la forma: La figura resultante sería un sector de una elipse trifocal.Las posiciones de la cuerda pueden tener que ajustarse para obtener el óvalo completo.[5]​ Como un caso especial del enfoque de Maxwell, considérese la n-elipse, el lugar geométrico de un punto que se mueve de tal manera que se cumple la siguiente condición: Dividiendo por n y reemplazando c/n por c, esta condición definitoria se puede expresar como Esto sugiere una interpretación simple: la cónica generalizada es una curva tal que la distancia promedio de cada punto P en la curva del conjunto {A1, A2,.Todos estos supuestos han sido analizados por diferentes autores y las curvas resultantes han sido estudiadas con especial énfasis en sus aplicaciones.[10]​[11]​ Son curvas cuyas ecuaciones polares son similares a las ecuaciones polares de las cónicas comunes y las cónicas ordinarias aparecen como casos especiales de estas cónicas generalizadas.Para las constantes reales r0 ≥ 0, λ ≥ 0 y k, una curva plana descrita por la ecuación polar se llama cónica generalizada.En 1996, Ruibin Qu introdujo una nueva noción de cónica generalizada como herramienta para generar aproximaciones a otras curvas.Con este enfoque, las cónicas generalizadas se definen como sigue.Este conjunto equidistante se denota por {A = B}.El término cónica generalizada se usa para denotar un conjunto equidistante general.