Curva braquistócrona

βράχιστος brachistos 'el más corto', χρόνος chronos 'intervalo de tiempo'), o curva del descenso más rápido,[1]​ es la curva entre dos puntos que es recorrida en menor tiempo por un cuerpo que comienza en el punto inicial con velocidad cero, y que debe desplazarse a lo largo de la curva hasta llegar al segundo punto, bajo acción de una fuerza de gravedad constante y suponiendo que no existe fricción.

Anteriormente, en 1638, Galileo Galilei había intentado resolver un problema similar para el camino del descenso más rápido desde un punto hasta una pared en su Dos nuevas ciencias, y sacó la conclusión de que el arco de un círculo es más rápido que cualquier número de sus cuerdas:[3]​ Justo después del Teorema 6 de "Dos nuevas ciencias", Galileo advierte sobre posibles falacias y la necesidad de una ciencia superior.

Galileo estudió la cicloide y le dio nombre, pero la conexión entre ella y su problema tuvo que esperar al avance de las matemáticas.

La conjetura de Galileo es que “El tiempo más corto de todos [para un cuerpo móvil] será el de su caída por el arco ADB [de un cuarto de círculo] y se debe entender que propiedades similares se mantienen para todos los arcos menores tomados hacia arriba desde el punto más bajo, el límite B.” En la figura 1, del “Diálogo sobre los dos principales sistemas del mundo”, Galileo afirma que el cuerpo que se desliza en el arco circular de un cuarto de círculo, de A a B, llegará a B en menos tiempo que si tomara cualquier otro camino desde A a B.

2, desde cualquier punto D en el arco AB, afirma que el tiempo en el arco menor DB será menor que para cualquier otro camino de D a B.

4 para el camino de D a B, superpuesto al arco circular respectivo.

[5]​[6]​ Dijo: Bernoulli escribió el planteamiento del problema como: Johann y su hermano Jacob Bernoulli obtuvieron la misma solución, pero la deducción de Johann fue incorrecta y trató de hacer pasar la solución de Jakob como propia.

[7]​ Johann publicó la solución en la revista en mayo del año siguiente y señaló que la solución es la misma curva que la tautócrona de Huygens.

Después de plantear la ecuación diferencial de la curva mediante el método que se indica a continuación, pasó a demostrar que sí produce una cicloide.

[8]​[9]​ Sin embargo, su prueba se vio empañada por el uso de una única constante en lugar de las tres constantes, vm, 2g y D, que aparecen a continuación.

Bernoulli fijó un plazo de seis meses para publicar las soluciones, pero no se recibió ninguna durante este período.

A petición de Leibniz, el plazo se prorrogó públicamente por un año y medio.

[11]​ Newton se quedó despierto toda la noche para resolverlo y envió la solución por correo de forma anónima en la siguiente publicación.

Al leer la solución, Bernoulli reconoció inmediatamente a su autor, exclamando que "se reconoce al león por la marca de su garra".

Esta historia da una idea del poder de Newton, ya que Johann Bernoulli tardó dos semanas en resolverlo.

Al final, cinco matemáticos respondieron con soluciones: Newton, Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus y Guillaume de l'Hôpital.

[8]​ Según el erudito newtoniano Tom Whiteside, en un intento de superar a su hermano, Jakob Bernoulli creó una versión más difícil del problema de la braquistocrona.

Para resolverlo, desarrolló nuevos métodos que fueron refinados por Leonhard Euler hasta convertirlos en lo que este último llamó (en 1766) cálculo de variaciones.

Joseph-Louis Lagrange realizó más trabajos que dieron como resultado el cálculo infinitesimal moderno.

El problema puede ser resuelto utilizando los algoritmos del cálculo variacional.

Si al cuerpo se le da una velocidad inicial en A, o si se toma en cuenta el efecto de la fricción, la curva que minimiza el tiempo de tránsito será distinta de la descrita en los párrafos precedentes.

donde y representa la altura vertical desde la que ha caído el cuerpo.

Como la curva que hace mínimo el funcional anterior satisface las ecuaciones de Euler-Lagrange, se tiene:

Como la función f no depende explícitamente de x, entonces:

, luego, podemos multiplicar dy/dx a la ecuación de Euler-Lagrange y restarle la anterior expresión sin modificar nada, así se tiene:

Es decir la solución para el problema de la braquistócrona es una curva tal que:

Se puede ver que la curva cicloide definida paramétricamente como:

Una curva plana se dice tautócrona si dada una colección de puntos materiales que se mueven a lo largo de ella impulsados por la gravedad, empezando a la vez desde el reposo pero desde puntos diferentes, acaban encontrándose simultáneamente en un mismo punto de la curva, es decir, tardan el mismo tiempo en alcanzar una cierta posición.

El estudio de la braquistócrona para una partícula que se mueve sin fricción es una cicloide, puede probarse que para una partícula que se mueve con fricción, el problema de la braquistócrona puede resolverse también analíticamente.

El problema de la braquistócrona usualmente se plantea en un plano vertical que contiene al vector tangente a la curva y a la dirección de la gravedad, pero el problema también ha sido planteado y resuelto cuando el movimiento de la partícula está confinado a una superficie curva como un cono o una esfera.