Análisis real

El análisis real se distingue del análisis complejo, que se ocupa del estudio de los números complejos y sus funciones.Se comienza con la integral de Riemann, que consiste en dividir el intervalo en subintervalos (con una partición), extender los subintervalos hacia arriba hasta que llegue, o al mínimo de la función en el subintervalo (en cual caso se le llama la suma inferior), o al máximo en el subintervalo (en cual caso se le llama la suma superior).Habiendo hecho todo esto, es útil regresar a los conceptos de continuidad y convergencia, y estudiarlos en un contexto más abstracto, en preparación para estudiar los espacios de funciones, que se hace en el análisis funcional o más especializados tal como el análisis complejo.El sistema de los números reales consiste en un conjunto incontable (Intuitivamente, la completitud significa que no hay "huecos" en los números reales.La completitud de los reales a menudo se expresa convenientemente como la propiedad del límite superior mínimo.Además, la ordenación de los números reales es total, y los números reales tienen la propiedad del límite superior mínimo: Todo subconjunto no vacío deEstas propiedades teórico del orden conducen a una serie de resultados fundamentales en análisis real, como el teorema de convergencia monótona, el teorema del valor intermedio y el teorema del valor medio.Sin embargo, aunque los resultados en análisis real se enuncian para números reales, muchos de estos resultados pueden generalizarse a otros objetos matemáticos., los números reales se convierten en el ejemplo prototípico de un espacio métrico.resulta ser idéntica a la topología estándar inducida por el ordenTeoremas como el teorema del valor intermedio que son esencialmente topológicos por naturaleza pueden demostrarse a menudo en el entorno más general de espacios métricos o topológicos en lugar de sólo enA menudo, tales pruebas tienden a ser más cortas o más simples en comparación con las pruebas clásicas que aplican métodos directos.La idea de límite es fundamental en cálculo (y en análisis matemático en general) y su definición formal se utiliza a su vez para definir nociones como continuidad, derivadas e integrales.El concepto de límite fue introducido informalmente para funciones por Newton y Leibniz, a finales del siglo XVII, para construir el cálculo infinitesimal.Para las secuencias, el concepto fue introducido por Cauchy, y hecho riguroso, a finales del siglo XIX por Bolzano y Weierstrass, quienes dieron la moderna | definición ε-δ, que sigue.Intuitivamente, esta definición se puede pensar de la siguiente manera: Decimos que) sea un número real que esté a menos deEl propósito de la última estipulación, que corresponde a la condición(En el contexto del análisis real, estas nociones son equivalentes: un conjunto en el espacio euclídeo es compacto si y sólo si es cerrado y acotado).Sin embargo, esta lista no es exhaustiva; por ejemplo, el conjuntoEsta definición también es válida para un espacio euclídeo de cualquier dimensión finita,Una definición más general que se aplica a todos los espacios métricos utiliza la noción de subsecuencia Una función del conjunto de números realess a los números reales puede representarse mediante una gráfica en el plano cartesiano; dicha función es continua si, a grandes rasgos, la gráfica es una única curva ininterrumpida sin "agujeros" ni "saltos".Hay varias formas de hacer matemáticamente rigurosa esta intuición.Se pueden dar varias definiciones con distintos niveles de generalidad., todo el conjunto de los números reales, un intervalo abiertoson números reales distintos, y excluimos el caso de queesté vacío o conste de un solo punto, en particular.Estas generalizaciones vinculan el análisis real con otras disciplinas y subdisciplinas.Por último, la generalización de la integración desde la recta real a curvas y superficies en espacios de mayor dimensión dio lugar al estudio del cálculo vectorial, cuya ulterior generalización y formalización desempeñó un papel importante en la evolución de los conceptos de forma diferencials y múltiple liso (diferenciable) en geometría diferencial y otras áreas estrechamente relacionadas de la geometría y la topología.