es un subgrupo finito del grupo ortogonal SO(4) actuando libremente mediante rotaciones sobre una 3-esfera
Todos estas variedades son primas, orientables y cerradas.
posee un grupo fundamental isomorfo finito de Γ sobre sí mismo.
La conjetura de eliptización, probada por Grigori Perelmán, establece que, a la inversa, todas las 3-variedades compactas con grupo fundamental finito son variedades esféricas.
Esto divide el conjunto de tales variedades en 5 clases, que se describen en las siguientes secciones.
con & Gamma; cyclic son precisamente los lens space tridimensionales.
Un espacio de lentes no está determinado por su grupo fundamental (hay espacios de lentes que no son homeomorfismo con grupos fundamentales isomorfismo); pero cualquier otra variedad esférica lo es.
por la acción del grupo que es generada por elementos de la forma donde
Además, las clasificaciones hasta el homeomorfismo y la equivalencia de homotopía se conocen como sigue.
son: En particular, los espacios de la lente "L" (7,1) y "L" (7,2) dan ejemplos de dos 3-variedades que son homotópicamente equivalentes pero no homeomórficas.
El centro es cíclico de orden 2m y es generado por x2, y el cociente por el centro es el grupo diedral de orden 2n.
Continuando con esta última presentación, este grupo tiene orden de 24m.
Los elementos x e y generan un subgrupo normal isomorfo al grupo cuaternión de orden 8.
Estas variedades están determinadas únicamente por sus grupos fundamentales.
Todos se pueden representar de una manera esencialmente única como fibrados de Seifert: la variedad del cociente es una esfera y se presentan 3 fibras excepcionales de órdenes 2, 3 y 3.
El grupo fundamental es producto de un grupo cíclico de orden m coprimo con respecto a 30 con el grupo icosaédrico binario[4] (orden 120) que tiene la presentación Cuando m es 1, la variedad es la esfera homológica.
Estas variedades están determinadas únicamente por sus grupos fundamentales.