En matemáticas , una variedad bandera generalizada (o simplemente variedad bandera ) es un espacio homogéneo cuyos puntos son banderas en un espacio vectorial de dimensión finita V sobre un cuerpo F. Cuando F son los números reales o complejos, una variedad bandera generalizada es una variedad suave o compleja , llamada variedad bandera real o compleja . Las variedades bandera son variedades proyectivas naturales .
Las variedades de banderas se pueden definir en varios grados de generalidad. Un prototipo es la variedad de banderas completas en un espacio vectorial V sobre un cuerpo F , que es una variedad de bandera para el grupo lineal especial sobre F . Otras variedades de banderas surgen al considerar banderas parciales, o por restricción del grupo lineal especial a subgrupos como el grupo simpléctico . Para las banderas parciales, es necesario especificar la secuencia de dimensiones de las banderas en consideración. Para los subgrupos del grupo lineal, se deben imponer condiciones adicionales a las banderas.
En el sentido más general, una variedad bandera generalizada se define como una variedad homogénea proyectiva , es decir, una variedad proyectiva suave X sobre un cuerpo F con una acción transitiva de un grupo reductivo G (y subgrupo estabilizador suave; esto no es una restricción para F de característica cero). Si X tiene un punto F - racional , entonces es isomorfo a G / P para algún subgrupo parabólico P de G . Una variedad homogénea proyectiva también puede realizarse como la órbita de un vector de peso más alto en una representación proyectivizada de G . Las variedades homogéneas proyectivas complejas son los espacios modelo planos compactos para geometrías de Cartan de tipo parabólico. Son variedades riemannianas homogéneas bajo cualquier subgrupo compacto maximalista de G , y son precisamente las órbitas coadjuntas de grupos de Lie compactos .
Las variedades bandera pueden ser espacios simétricos . Sobre los números complejos, las variedades bandera correspondientes son los espacios simétricos hermíticos . Sobre los números reales, un R -espacio es sinónimo de una variedad bandera real y los espacios simétricos correspondientes se denominan R -espacios simétricos.
Una bandera en un espacio vectorial de dimensión finita V sobre un campo F es una secuencia creciente de subespacios , donde "creciente" significa que cada uno es un subespacio propio del siguiente (ver filtración ):
Si escribimos la dimensión V i = d i entonces tenemos
donde n es la dimensión de V . Por lo tanto, debemos tener k ≤ n . Una bandera se llama bandera completa si d i = i para todo i , de lo contrario se llama bandera parcial . La firma de la bandera es la secuencia ( d 1 , ..., d k ).
Se puede obtener una bandera parcial a partir de una bandera completa eliminando algunos de los subespacios. A la inversa, cualquier bandera parcial se puede completar (de muchas maneras diferentes) insertando subespacios adecuados.
Según los resultados básicos del álgebra lineal , dos banderas completas cualesquiera en un espacio vectorial n -dimensional V sobre un cuerpo F no son diferentes entre sí desde un punto de vista geométrico. Es decir, el grupo lineal general actúa transitivamente sobre el conjunto de todas las banderas completas.
Fijemos una base ordenada para V , identificándola con F n , cuyo grupo lineal general es el grupo GL( n , F ) de matrices invertibles n × n . La bandera estándar asociada a esta base es aquella en la que el i ésimo subespacio está generado por los primeros i vectores de la base. En relación con esta base, el estabilizador de la bandera estándar es el grupo de matrices triangulares inferiores no singulares , que denotamos por B n . Por lo tanto, la variedad de bandera completa se puede escribir como un espacio homogéneo GL( n , F ) / B n , que muestra en particular que tiene dimensión n ( n −1)/2 sobre F .
Nótese que los múltiplos de la identidad actúan trivialmente en todas las banderas, y por lo tanto uno puede restringir la atención al grupo lineal especial SL( n , F ) de matrices con determinante uno, que es un grupo algebraico semisimple; el conjunto de matrices triangulares inferiores de determinante uno es un subgrupo de Borel .
Si el cuerpo F son los números reales o complejos podemos introducir un producto interno sobre V tal que la base elegida sea ortonormal . Cualquier variedad completa de banderas se descompone entonces en una suma directa de subespacios unidimensionales tomando complementos ortogonales. De ello se deduce que la variedad completa de banderas sobre los números complejos es el espacio homogéneo.
donde U( n ) es el grupo unitario y T n es el n -toro de matrices unitarias diagonales. Existe una descripción similar sobre los números reales con U( n ) reemplazado por el grupo ortogonal O( n ), y T n por las matrices ortogonales diagonales (que tienen entradas diagonales ±1).
La variedad de bandera parcial
es el espacio de todas las banderas de firma ( d 1 , d 2 , ... d k ) en un espacio vectorial V de dimensión n = d k sobre F . La variedad de bandera completa es el caso especial en el que d i = i para todo i . Cuando k =2, este es un Grassmanniano de d subespacios unidimensionales de V .
Este es un espacio homogéneo para el grupo lineal general G de V sobre F . Para ser explícito, tome V = F n de modo que G = GL( n , F ). El estabilizador de una bandera de subespacios anidados V i de dimensión d i puede tomarse como el grupo de matrices triangulares inferiores de bloques no singulares , donde las dimensiones de los bloques son n i := d i − d i −1 (con d 0 = 0).
Restringiendo a matrices de determinante uno, este es un subgrupo parabólico P de SL( n , F ), y por lo tanto la variedad de bandera parcial es isomorfa al espacio homogéneo SL( n , F )/ P .
Si F son números reales o complejos, entonces se puede utilizar un producto interno para dividir cualquier bandera en una suma directa, y por lo tanto la variedad de bandera parcial también es isomorfa al espacio homogéneo.
en el caso complejo, o
en el caso real.
Las matrices triangulares superiores del determinante uno son un subgrupo de Borel de SL( n , F ), y por lo tanto los estabilizadores de las banderas parciales son subgrupos parabólicos. Además, una bandera parcial está determinada por el subgrupo parabólico que la estabiliza.
Por lo tanto, de manera más general, si G es un grupo algebraico semisimple o un grupo de Lie , entonces la variedad de bandera (generalizada) para G es G / P donde P es un subgrupo parabólico de G. La correspondencia entre los subgrupos parabólicos y las variedades de bandera generalizadas permite que cada uno se entienda en términos del otro.
La extensión de la terminología "variedad de banderas" es razonable, porque los puntos de G / P todavía pueden describirse usando banderas. Cuando G es un grupo clásico , como un grupo simpléctico o un grupo ortogonal , esto es particularmente transparente. Si ( V , ω ) es un espacio vectorial simpléctico , entonces una bandera parcial en V es isótropa si la forma simpléctica se desvanece en subespacios propios de V en la bandera. El estabilizador de una bandera isótropa es un subgrupo parabólico del grupo simpléctico Sp( V , ω ). Para los grupos ortogonales hay una imagen similar, con un par de complicaciones. Primero, si F no es algebraicamente cerrado, entonces los subespacios isótropos pueden no existir: para una teoría general, uno necesita usar los grupos ortogonales divididos . En segundo lugar, para espacios vectoriales de dimensión par 2 m , los subespacios isótropos de dimensión m vienen en dos sabores ("auto-duales" y "anti-auto-duales") y es necesario distinguirlos para obtener un espacio homogéneo.
Si G es un grupo de Lie compacto y conexo, contiene un toro maximalista T y el espacio G / T de clases laterales izquierdas con topología de cociente es una variedad real compacta. Si H es cualquier otro subgrupo cerrado y conexo de G que contiene a T , entonces G / H es otra variedad real compacta. (Ambos son en realidad espacios homogéneos complejos de manera canónica a través de la complejización ).
La presencia de una estructura compleja y de una (co)homología celular hacen que sea fácil ver que el anillo de cohomología de G / H está concentrado en grados pares, pero de hecho, se puede decir algo mucho más contundente. Debido a que G → G/H es un fibrado de H principal , existe una función de clasificación G / H → BH cuyo objetivo es el espacio de clasificación BH . Si reemplazamos G / H con el cociente de homotopía G H en la secuencia G → G/H → BH , obtenemos un fibrado G principal llamado fibración de Borel de la acción de multiplicación derecha de H sobre G , y podemos usar la secuencia espectral de Serre cohomológica de este fibrado para entender el homomorfismo de restricción de fibras H *( G / H ) → H *( G ) y la función característica H *( BH ) → H *( G / H ), llamada así porque su imagen, el subanillo característico de H *( G / H ), lleva las clases características del fibrado original H → G → G / H .
Ahora restrinjamos nuestro anillo de coeficientes a un cuerpo k de característica cero, de modo que, por el teorema de Hopf , H *( G ) es un álgebra exterior sobre generadores de grado impar (el subespacio de elementos primitivos ). De ello se deduce que los homomorfismos de aristas
de la secuencia espectral debe eventualmente tomar el espacio de elementos primitivos en la columna izquierda H *( G ) de la página E 2 biyectivamente en la fila inferior H *( BH ): sabemos que G y H tienen el mismo rango , así que si la colección de homomorfismos de aristas no fuera de rango completo en el subespacio primitivo, entonces la imagen de la fila inferior H *( BH ) en la página final H *( G / H ) de la secuencia sería de dimensión infinita como un espacio vectorial k , lo cual es imposible, por ejemplo por cohomología celular nuevamente, porque un espacio homogéneo compacto admite una estructura CW finita .
Por lo tanto, la función de anillo H *( G / H ) → H *( G ) es trivial en este caso, y la función característica es sobreyectiva, de modo que H *( G / H ) es un cociente de H *( BH ). El núcleo de la función es el ideal generado por las imágenes de elementos primitivos bajo los homomorfismos de arista, que es también el ideal generado por elementos de grado positivo en la imagen de la función canónica H *( BG ) → H *( BH ) inducida por la inclusión de H en G .
La función H *( BG ) → H *( BT ) es inyectiva, y lo mismo ocurre con H , con imagen del subanillo H *( BT ) W ( G ) de elementos invariantes bajo la acción del grupo de Weyl , por lo que finalmente se obtiene la descripción concisa
donde denota elementos de grado positivo y los paréntesis la generación de un ideal. Por ejemplo, para la variedad bandera compleja completa U ( n )/ T n , se tiene
donde los t j son de grado 2 y los σ j son los primeros n polinomios simétricos elementales en las variables t j . Para un ejemplo más concreto, tomemos n = 2, de modo que U ( 2 )/[ U (1) × U (1)] es el complejo Grassmanniano Gr(1, 2 ) ≈ P 1 ≈ S 2 . Entonces esperamos que el anillo de cohomología sea un álgebra exterior en un generador de grado dos (la clase fundamental ), y de hecho,
Como se esperaba.
Si G es un grupo algebraico semisimple (o grupo de Lie) y V es una representación de G de mayor peso (de dimensión finita) , entonces el espacio de mayor peso es un punto en el espacio proyectivo P( V ) y su órbita bajo la acción de G es una variedad algebraica proyectiva . Esta variedad es una variedad de bandera (generalizada) y, además, cada variedad de bandera (generalizada) para G surge de esta manera.
Armand Borel demostró [ cita requerida ] que esto caracteriza las variedades de bandera de un grupo algebraico semisimple general G : son precisamente los espacios homogéneos completos de G , o equivalentemente (en este contexto), las G -variedades homogéneas proyectivas.
Sea G un grupo de Lie semisimple con subgrupo compacto maximalista K . Entonces K actúa transitivamente sobre cualquier clase de conjugación de subgrupos parabólicos, y por lo tanto la variedad bandera generalizada G / P es una variedad riemanniana homogénea compacta K /( K ∩ P ) con grupo de isometría K . Además, si G es un grupo de Lie complejo, G / P es una variedad de Kähler homogénea .
Dando la vuelta a esto, los espacios homogéneos de Riemann
admitir un grupo de transformaciones de Lie estrictamente mayor, a saber, G. Especializándose en el caso de que M sea un espacio simétrico , esta observación produce todos los espacios simétricos que admiten un grupo de simetría mayor, y estos espacios han sido clasificados por Kobayashi y Nagano.
Si G es un grupo de Lie complejo, los espacios simétricos M que surgen de esta manera son los espacios simétricos hermíticos compactos : K es el grupo de isometría y G es el grupo de biholomorfismo de M.
Sobre los números reales, una variedad bandera real también se llama R-espacio, y los R-espacios que son espacios simétricos de Riemann bajo K se conocen como R-espacios simétricos. Los R-espacios simétricos que no son simétricos hermíticos se obtienen tomando G como una forma real del grupo de biholomorfismo G c de un espacio simétrico hermítico G c / P c tal que P := P c ∩ G es un subgrupo parabólico de G . Los ejemplos incluyen espacios proyectivos (siendo G el grupo de transformaciones proyectivas ) y esferas (siendo G el grupo de transformaciones conformes ).
![{\displaystyle H^{*}{\big (}U(n)/T^{n}{\big )}\cong \mathbb {Q} [t_{1},\ldots ,t_{n}]/(\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c2d0836367cb61b9c72923023b03aafe4224973)
![{\displaystyle H^{*}{\big (}U(2)/T^{2}{\big )}\cong \mathbb {Q} [t_{1},t_{2}]/(t_{1}+t_{2},t_{1}t_{2})\cong \mathbb {Q} [t_{1}]/(t_{1}^{2}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3342f125f5b23da00db3dffa0c08272d4b82b2f)