Homología celular

En matemáticas , la homología celular en topología algebraica es una teoría de homología para la categoría de complejos CW . Concuerda con la homología singular y puede proporcionar un medio eficaz para calcular módulos de homología.

Definición

Si es un complejo CW con n -esqueleto , los módulos de homología celular se definen como los grupos de homología H _i del complejo de cadena celular. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{n}}$

${\displaystyle \cdots \to {C_{n+1}}(X_{n+1},X_{n})\to {C_{n}}(X_{n},X_{n-1})\to {C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})\to \cdots ,}$

donde se toma como el conjunto vacío. ${\displaystyle X_{-1}}$

El grupo

${\displaystyle {C_{n}}(X_{n},X_{n-1})}$

es abeliano libre , con generadores que pueden identificarse con las celdas de . Sea una celda de , y sea la función adjunta. Luego considere la composición ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle e_{n}^{\alpha }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \chi _{n}^{\alpha }:\partial e_{n}^{\alpha }\cong \mathbb {S} ^{n-1}\to X_{n-1}}$

${\displaystyle \chi _{n}^{\alpha \beta }:\mathbb {S} ^{n-1}\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\partial e_{n}^{\alpha }\,{\stackrel {\chi _{n}^{\alpha }}{\longrightarrow }}\,X_{n-1}\,{\stackrel {q}{\longrightarrow }}\,X_{n-1}/\left(X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }\right)\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\mathbb {S} ^{n-1},}$

donde el primer mapa se identifica con a través del mapa característico de , el objeto es una -celda de X , el tercer mapa es el mapa cociente que colapsa en un punto (envolviéndose así en una esfera ), y el último mapa se identifica con a través del mapa característico de . ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \partial e_{n}^{\alpha }}$ ${\displaystyle \Phi _{n}^{\alpha }}$ ${\displaystyle e_{n}^{\alpha }}$ ${\displaystyle e_{n-1}^{\beta }}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }}$ ${\displaystyle e_{n-1}^{\beta }}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$ ${\displaystyle X_{n-1}/\left(X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \Phi _{n-1}^{\beta }}$ ${\displaystyle e_{n-1}^{\beta }}$

El mapa de límites

${\displaystyle \partial _{n}:{C_{n}}(X_{n},X_{n-1})\to {C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})}$

se da entonces por la fórmula

${\displaystyle {\partial _{n}}(e_{n}^{\alpha })=\sum _{\beta }\deg \left(\chi _{n}^{\alpha \beta }\right)e_{n-1}^{\beta },}$

donde es el grado de y la suma se toma sobre todas las celdas de , consideradas como generadores de . ${\displaystyle \deg \left(\chi _{n}^{\alpha \beta }\right)}$ ${\displaystyle \chi _{n}^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})}$

Ejemplos

Los siguientes ejemplos ilustran por qué los cálculos realizados con homología celular suelen ser más eficientes que aquellos calculados utilizando únicamente homología singular.

Elnorte-esfera

La esfera n -dimensional S ⁿ admite una estructura CW con dos celdas, una celda 0 y una celda n . Aquí la celda n está unida por la constante de mapeo de a la celda 0. Como los generadores de los grupos de cadenas celulares se pueden identificar con las celdas k de S ⁿ , tenemos que para y es trivial de otra manera. ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle {C_{k}}(S_{k}^{n},S_{k-1}^{n})}$ ${\displaystyle {C_{k}}(S_{k}^{n},S_{k-1}^{n})=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle k=0,n,}$

Por lo tanto, para , el complejo de cadena resultante es ${\displaystyle n>1}$

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+2}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\longrightarrow \,}0,}$

pero entonces como todos los mapas de límites son hacia o desde grupos triviales, todos deben ser cero, lo que significa que los grupos de homología celular son iguales a

${\displaystyle H_{k}(S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Cuando , es posible verificar que el mapa de límites es cero, lo que significa que la fórmula anterior es válida para todos los . ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \partial _{1}}$ ${\displaystyle n}$

Génerogramosuperficie

La homología celular también se puede utilizar para calcular la homología de la superficie del género g . El polígono fundamental de es un -gono que da una estructura CW con una célula 2, células 1 y una célula 0. La célula 2 está unida a lo largo del límite del -gono, que contiene cada célula 1 dos veces, una hacia adelante y otra hacia atrás. Esto significa que el mapa de unión es cero, ya que las direcciones hacia adelante y hacia atrás de cada célula 1 se cancelan. De manera similar, el mapa de unión para cada célula 1 también es cero, ya que es el mapeo constante de a la célula 0. Por lo tanto, el complejo de cadena resultante es ${\displaystyle \Sigma _{g}}$ ${\displaystyle \Sigma _{g}}$ ${\displaystyle 4n}$ ${\displaystyle \Sigma _{g}}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 4n}$ ${\displaystyle S^{0}}$

${\displaystyle \cdots \to 0\xrightarrow {\partial _{3}} \mathbb {Z} \xrightarrow {\partial _{2}} \mathbb {Z} ^{2g}\xrightarrow {\partial _{1}} \mathbb {Z} \to 0,}$

donde todos los mapas de límites son cero. Por lo tanto, esto significa que la homología celular de la superficie del género g está dada por

${\displaystyle H_{k}(\Sigma _{g})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} ^{2g}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

De manera similar, se puede construir la superficie del género g con un crosscap unido como un complejo CW con 1 célula 0, células g 1 y 1 célula 2. Sus grupos de homología son $${\displaystyle H_{k}(\Sigma _{g})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} ^{g-1}\oplus \mathbb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

Toro

El n-toro se puede construir como el complejo CW con 1 celda 0, n celdas 1, ..., y 1 celda n. El complejo en cadena es y todos los mapas de contorno son cero. Esto se puede entender construyendo explícitamente los casos para , luego vea el patrón. ${\displaystyle (S^{1})^{n}}$ $${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{n}}\to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{n-1}}\to \cdots \to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{1}}\to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{0}}\to 0}$$ ${\displaystyle n=0,1,2,3}$

De este modo, . ${\displaystyle H_{k}((S^{1})^{n})\simeq \mathbb {Z} ^{\binom {n}{k}}}$

Espacio proyectivo complejo

Si no tiene celdas de dimensión adyacente (por lo tanto, si tiene n celdas, no tiene (n-1) celdas ni (n+1) celdas), entonces es el grupo abeliano libre generado por sus n celdas, para cada . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H_{n}^{CW}(X)}$ ${\displaystyle n}$

El espacio proyectivo complejo se obtiene pegando juntas una celda 0, una celda 2, ..., y una celda (2n), es decir para , y cero en caso contrario. ${\displaystyle P^{n}\mathbb {C} }$ ${\displaystyle H_{k}(P^{n}\mathbb {C} )=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle k=0,2,...,2n}$

Espacio proyectivo real

El espacio proyectivo real admite una estructura CW con una celda para todos los . La función de unión para estas celdas está dada por la función de recubrimiento doble . (Obsérvese que el esqueleto para todos los ). Nótese que en este caso, para todos los . ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle e_{k}}$ ${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \varphi _{k}\colon S^{k-1}\to \mathbb {R} P^{k-1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {R} P_{k}^{n}\cong \mathbb {R} P^{k}}$ ${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle C_{k}(\mathbb {R} P_{k}^{n},\mathbb {R} P_{k-1}^{n})\cong \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n\}}$

Para calcular el mapa de límites

${\displaystyle \partial _{k}\colon C_{k}(\mathbb {R} P_{k}^{n},\mathbb {R} P_{k-1}^{n})\to C_{k-1}(\mathbb {R} P_{k-1}^{n},\mathbb {R} P_{k-2}^{n}),}$

Debemos encontrar el grado del mapa.

${\displaystyle \chi _{k}\colon S^{k-1}{\overset {\varphi _{k}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} P^{k-1}{\overset {q_{k}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} P^{k-1}/\mathbb {R} P^{k-2}\cong S^{k-1}.}$

Ahora, note que , y para cada punto , tenemos que consta de dos puntos, uno en cada componente conexo (hemisferio abierto) de . Por lo tanto, para encontrar el grado de la función , es suficiente encontrar los grados locales de en cada uno de estos hemisferios abiertos. Para facilitar la notación, denotamos y los componentes conexos de . Entonces y son homeomorfismos, y , donde es la función antípoda. Ahora, el grado de la función antípoda en es . Por lo tanto, sin pérdida de generalidad, tenemos que el grado local de en es y el grado local de en es . Sumando los grados locales, tenemos que ${\displaystyle \varphi _{k}^{-1}(\mathbb {R} P^{k-2})=S^{k-2}\subseteq S^{k-1}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} P^{k-1}\setminus \mathbb {R} P^{k-2}}$ ${\displaystyle \varphi ^{-1}(\{x\})}$ ${\displaystyle S^{k-1}\setminus S^{k-2}}$ ${\displaystyle \chi _{k}}$ ${\displaystyle \chi _{k}}$ ${\displaystyle B_{k}}$ ${\displaystyle {\tilde {B}}_{k}}$ ${\displaystyle S^{k-1}\setminus S^{k-2}}$ ${\displaystyle \chi _{k}|_{B_{k}}}$ ${\displaystyle \chi _{k}|_{{\tilde {B}}_{k}}}$ ${\displaystyle \chi _{k}|_{{\tilde {B}}_{k}}=\chi _{k}|_{B_{k}}\circ A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S^{k-1}}$ ${\displaystyle (-1)^{k}}$ ${\displaystyle \chi _{k}}$ ${\displaystyle B_{k}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \chi _{k}}$ ${\displaystyle {\tilde {B}}_{k}}$ ${\displaystyle (-1)^{k}}$

${\displaystyle \deg(\chi _{k})=1+(-1)^{k}={\begin{cases}2&{\text{if }}k{\text{ is even,}}\\0&{\text{if }}k{\text{ is odd.}}\end{cases}}}$

El mapa de límites viene dado por . ${\displaystyle \partial _{k}}$ ${\displaystyle \deg(\chi _{k})}$

Tenemos entonces que la estructura CW da lugar al siguiente complejo de cadena: ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$

${\displaystyle 0\longrightarrow \mathbb {Z} {\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {2}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} {\overset {0}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} {\overset {2}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} {\overset {0}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} \longrightarrow 0,}$

donde si es par y si es impar. Por lo tanto, los grupos de homología celular para son los siguientes: ${\displaystyle \partial _{n}=2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \partial _{n}=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$

${\displaystyle H_{k}(\mathbb {R} P^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &{\text{if }}k=0{\text{ and }}k=n{\text{ odd}},\\\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} &{\text{if }}0<k<n{\text{ odd,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Otras propiedades

A partir del complejo de la cadena celular se puede ver que el esqueleto determina todos los módulos de homología de dimensión inferior: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {H_{k}}(X)\cong {H_{k}}(X_{n})}$

para . ${\displaystyle k<n}$

Una consecuencia importante de esta perspectiva celular es que si un complejo CW no tiene células en dimensiones consecutivas, entonces todos sus módulos de homología están libres. Por ejemplo, el espacio proyectivo complejo tiene una estructura celular con una célula en cada dimensión par; se deduce que para , ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$

${\displaystyle {H_{2k}}(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$

y

${\displaystyle {H_{2k+1}}(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )=0.}$

Generalización

La secuencia espectral de Atiyah–Hirzebruch es el método análogo para calcular la (co)homología de un complejo CW, para una teoría de (co)homología extraordinaria arbitraria .

Característica de Euler

Para un complejo celular , sea su -ésimo esqueleto y sea el número de células, es decir, el rango del módulo libre . La característica de Euler de se define entonces por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle c_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {C_{j}}(X_{j},X_{j-1})}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \chi (X)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}c_{j}.}$

La característica de Euler es un invariante de homotopía. De hecho, en términos de los números de Betti de , ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \chi (X)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\operatorname {Rank} ({H_{j}}(X)).}$

Esto se puede justificar de la siguiente manera: considérese la larga secuencia exacta de homología relativa para el triple : ${\displaystyle (X_{n},X_{n-1},\varnothing )}$

${\displaystyle \cdots \to {H_{i}}(X_{n-1},\varnothing )\to {H_{i}}(X_{n},\varnothing )\to {H_{i}}(X_{n},X_{n-1})\to \cdots .}$

La búsqueda de la exactitud a través de la secuencia da

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},\varnothing ))=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},X_{n-1}))+\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n-1},\varnothing )).}$

El mismo cálculo se aplica a los triples , , etc. Por inducción, ${\displaystyle (X_{n-1},X_{n-2},\varnothing )}$ ${\displaystyle (X_{n-2},X_{n-3},\varnothing )}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\;\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},\varnothing ))=\sum _{j=0}^{n}\sum _{i=0}^{j}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{j},X_{j-1}))=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}c_{j}.}$

Referencias

• Albrecht Dold : Conferencias sobre topología algebraica , Springer ISBN  3-540-58660-1 .
• Allen Hatcher : Topología algebraica , Cambridge University Press ISBN 978-0-521-79540-1 . Hay una versión electrónica gratuita disponible en la página web del autor.