Teorema de uniformización

La superficie de Riemann simplemente conexa es equivalente a un disco abierto, un plano complejo o una esfera.

En matemáticas, el teorema de uniformización establece que toda superficie de Riemann simplemente conexa es equivalente conformemente a una de tres superficies de Riemann: el disco unitario abierto , el plano complejo o la esfera de Riemann . El teorema es una generalización del teorema de mapeo de Riemann desde subconjuntos abiertos simplemente conexos del plano a superficies de Riemann arbitrarias simplemente conexas.

Como toda superficie de Riemann tiene una cobertura universal que es una superficie de Riemann simplemente conexa, el teorema de uniformización conduce a una clasificación de las superficies de Riemann en tres tipos: las que tienen como cobertura universal la esfera de Riemann ("elípticas"), las que tienen como cobertura universal el plano ("parabólicas") y las que tienen como cobertura universal el disco unidad ("hiperbólicas"). De ello se deduce además que toda superficie de Riemann admite una métrica riemanniana de curvatura constante , donde la curvatura puede tomarse como 1 en el caso elíptico, 0 en el parabólico y -1 en el hiperbólico.

El teorema de uniformización también produce una clasificación similar de las variedades riemannianas orientables cerradas en casos elípticos/parabólicos/hiperbólicos. Cada una de estas variedades tiene una métrica riemanniana equivalente conforme con una curvatura constante, donde la curvatura puede tomarse como 1 en el caso elíptico, 0 en el parabólico y -1 en el hiperbólico.

Historia

Felix Klein  (1883) y Henri Poincaré  (1882) conjeturaron el teorema de uniformización para (las superficies de Riemann de) curvas algebraicas. Henri Poincaré (1883) lo extendió a funciones analíticas multivaluadas arbitrarias y dio argumentos informales a su favor. Las primeras demostraciones rigurosas del teorema general de uniformización fueron dadas por Poincaré  (1907) y Paul Koebe  (1907a, 1907b, 1907c). Paul Koebe dio más tarde varias demostraciones y generalizaciones más. La historia se describe en Gray (1994); una descripción completa de la uniformización hasta los artículos de 1907 de Koebe y Poincaré se da con demostraciones detalladas en de Saint-Gervais (2016) (el seudónimo de tipo Bourbaki del grupo de quince matemáticos que produjeron conjuntamente esta publicación).

Clasificación de superficies de Riemann conexas

Toda superficie de Riemann es el cociente de la acción libre, propia y holomorfa de un grupo discreto sobre su recubrimiento universal y este recubrimiento universal, al ser una superficie de Riemann simplemente conexa, es holomorfamente isomorfa (también se dice: "conformemente equivalente" o "biholomorfa") a una de las siguientes:

1. La esfera de Riemann
2. El plano complejo
3. el disco unitario en el plano complejo.

Para las superficies de Riemann compactas, las que tienen recubrimiento universal el disco unidad son precisamente las superficies hiperbólicas de género mayor que 1, todas con grupo fundamental no abeliano; las que tienen recubrimiento universal el plano complejo son las superficies de Riemann de género 1, es decir los toros complejos o curvas elípticas con grupo fundamental Z ² ; y las que tienen recubrimiento universal la esfera de Riemann son las de género cero, es decir la propia esfera de Riemann, con grupo fundamental trivial.

Clasificación de variedades riemannianas de 2 caras cerradas y orientadas

En una variedad 2-orientada, una métrica de Riemann induce una estructura compleja utilizando el paso a coordenadas isotérmicas . Si la métrica de Riemann se da localmente como

${\displaystyle ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2},}$

entonces en la coordenada compleja z = x + i y , toma la forma

${\displaystyle ds^{2}=\lambda |dz+\mu \,d{\overline {z}}|^{2},}$

dónde

${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{4}}\left(E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}\right),\ \ \mu ={\frac {1}{4\lambda }}(E-G+2iF),}$

de modo que λ y μ son suaves con λ > 0 y | μ | < 1. En coordenadas isotérmicas ( u , v ) la métrica debe tomar la forma

${\displaystyle ds^{2}=\rho (du^{2}+dv^{2})}$

con ρ > 0 suave. La coordenada compleja w = u + i v satisface

${\displaystyle \rho \,|dw|^{2}=\rho |w_{z}|^{2}\left|dz+{w_{\overline {z}} \over w_{z}}\,d{\overline {z}}\right|^{2},}$

de modo que las coordenadas ( u , v ) serán isotérmicas localmente siempre que se cumpla la ecuación de Beltrami

${\displaystyle {\partial w \over \partial {\overline {z}}}=\mu {\partial w \over \partial z}}$

tiene una solución localmente difeomorfa, es decir, una solución con jacobiano no evanescente.

Estas condiciones se pueden expresar de forma equivalente en términos de la derivada exterior y el operador de estrella de Hodge ∗ . ^[1] u y v serán coordenadas isotérmicas si ∗ du = dv , donde ∗ se define en diferenciales por ∗( p dx + q dy ) = − q dx + p dy . Sea ∆ = ∗ d ∗ d el operador de Laplace-Beltrami . Por la teoría elíptica estándar, u puede elegirse para que sea armónica cerca de un punto dado, es decir Δ u = 0 , con du no anulándose. Por el lema de Poincaré dv = ∗ du tiene una solución local v exactamente cuando d (∗ du ) = 0 . Esta condición es equivalente a Δ u = 0 , por lo que siempre se puede resolver localmente. Dado que du no es cero y el cuadrado del operador de estrella de Hodge es −1 en las formas 1, du y dv deben ser linealmente independientes, de modo que u y v dan coordenadas isotérmicas locales.

La existencia de coordenadas isotérmicas se puede demostrar por otros métodos, por ejemplo utilizando la teoría general de la ecuación de Beltrami , como en Ahlfors (2006), o por métodos elementales directos, como en Chern (1955) y Jost (2006).

De esta correspondencia con superficies compactas de Riemann se desprende una clasificación de las 2-variedades de Riemann cerradas y orientables. Cada una de ellas es conformemente equivalente a una única 2-variedad cerrada de curvatura constante , por lo que un cociente de una de las siguientes por una acción libre de un subgrupo discreto de un grupo de isometría :

1. La esfera (curvatura +1)
2. el plano euclidiano (curvatura 0)
3. el plano hiperbólico (curvatura −1).

• 
  género 0
• 
  género 1
• 
  género 2
• 
  género 3

El primer caso da la 2-esfera, la única 2-variedad con curvatura positiva constante y, por lo tanto, característica de Euler positiva (igual a 2). El segundo da todas las 2-variedades planas, es decir, los toros , que tienen característica de Euler 0. El tercer caso cubre todas las 2-variedades de curvatura negativa constante, es decir, las 2-variedades hiperbólicas, todas las cuales tienen característica de Euler negativa. La clasificación es consistente con el teorema de Gauss-Bonnet , que implica que para una superficie cerrada con curvatura constante, el signo de esa curvatura debe coincidir con el signo de la característica de Euler. La característica de Euler es igual a 2 – 2 g , donde g es el género de la 2-variedad, es decir, el número de "agujeros".

Métodos de prueba

Muchas pruebas clásicas del teorema de uniformización se basan en la construcción de una función armónica de valor real en la superficie de Riemann simplemente conexa, posiblemente con una singularidad en uno o dos puntos y que a menudo corresponde a una forma de la función de Green . Se emplean ampliamente cuatro métodos para construir la función armónica: el método de Perron ; el método alterno de Schwarz ; el principio de Dirichlet ; y el método de proyección ortogonal de Weyl . En el contexto de las 2-variedades riemannianas cerradas, varias pruebas modernas invocan ecuaciones diferenciales no lineales en el espacio de métricas conformemente equivalentes. Estas incluyen la ecuación de Beltrami de la teoría de Teichmüller y una formulación equivalente en términos de mapas armónicos ; la ecuación de Liouville , ya estudiada por Poincaré; y el flujo de Ricci junto con otros flujos no lineales.

El teorema de Rado demuestra que toda superficie de Riemann es automáticamente contable en segundo lugar . Aunque el teorema de Rado se utiliza a menudo en demostraciones del teorema de uniformización, algunas demostraciones se han formulado de modo que el teorema de Rado se convierte en una consecuencia. La contabilización en segundo lugar es automática para superficies de Riemann compactas.

Métodos del espacio de Hilbert

En 1913, Hermann Weyl publicó su clásico libro de texto "Die Idee der Riemannschen Fläche" basado en sus conferencias de Göttingen de 1911 a 1912. Fue el primer libro en presentar la teoría de superficies de Riemann en un entorno moderno y a través de sus tres ediciones ha seguido siendo influyente. Dedicada a Felix Klein , la primera edición incorporó el tratamiento de Hilbert del problema de Dirichlet utilizando técnicas del espacio de Hilbert ; las contribuciones de Brouwer a la topología; y la prueba de Koebe del teorema de uniformización y sus posteriores mejoras. Mucho más tarde, Weyl (1940) desarrolló su método de proyección ortogonal que dio un enfoque simplificado al problema de Dirichlet, también basado en el espacio de Hilbert; esa teoría, que incluía el lema de Weyl sobre regularidad elíptica , estaba relacionada con la teoría de integrales armónicas de Hodge ; y ambas teorías fueron subsumidas en la teoría moderna de operadores elípticos y espacios L ² de Sobolev . En la tercera edición de su libro de 1955, traducida al inglés en Weyl (1964), Weyl adoptó la definición moderna de variedad diferencial, en preferencia a las triangulaciones , pero decidió no hacer uso de su método de proyección ortogonal. Springer (1957) siguió la explicación de Weyl del teorema de uniformización, pero utilizó el método de proyección ortogonal para tratar el problema de Dirichlet. Kodaira (2007) describe el enfoque en el libro de Weyl y también cómo acortarlo utilizando el método de proyección ortogonal. Se puede encontrar una explicación relacionada en Donaldson (2011).

Flujos no lineales

Richard S. Hamilton demostró que el flujo de Ricci normalizado en una superficie cerrada uniformiza la métrica (es decir, el flujo converge a una métrica de curvatura constante). Sin embargo, su prueba se basó en el teorema de uniformización. El paso faltante involucraba el flujo de Ricci en la 2-esfera: Chen, Lu y Tian (2006) proporcionaron un método para evitar una apelación al teorema de uniformización (para el género 0); ^[2] Andrews y Bryan (2010) dieron una explicación breve e independiente del flujo de Ricci en la 2-esfera.

Generalizaciones

Koebe demostró el teorema general de uniformización : si una superficie de Riemann es homeomorfa a un subconjunto abierto de la esfera compleja (o equivalentemente si cada curva de Jordan la separa), entonces es conformemente equivalente a un subconjunto abierto de la esfera compleja.

En 3 dimensiones, existen 8 geometrías, llamadas las ocho geometrías de Thurston . No toda variedad tridimensional admite una geometría, pero la conjetura de geometrización de Thurston demostrada por Grigori Perelman afirma que toda variedad tridimensional puede cortarse en trozos que sean geometrizables.

El teorema de uniformización simultánea de Lipman Bers muestra que es posible uniformizar simultáneamente dos superficies de Riemann compactas del mismo género >1 con el mismo grupo cuasi-fucsiano .

El teorema de mapeo de Riemann medible muestra de manera más general que el mapa de un subconjunto abierto de la esfera compleja en el teorema de uniformización puede elegirse para que sea un mapa cuasiconforme con cualquier coeficiente de Beltrami medible y acotado dado.

Véase también

• Teorema de uniformización p-ádica

Notas

1. DeTurck y Kazdan 1981; Taylor 1996a, págs. 377–378
2. Brendle 2010

Referencias

Referencias históricas

• Schwarz, HA (1870), "Über einen Grenzübergang durch alternierendes Verfahren", Vierteljahrsschrift der Naturforschenden Gesellschaft en Zürich , 15 : 272–286, JFM  02.0214.02.
• Klein, Felix (1883), "Neue Beiträge zur Riemann'schen Functionentheorie", Mathematische Annalen , 21 (2): 141–218, doi :10.1007/BF01442920, ISSN  0025-5831, JFM  15.0351.01, S2CID  120465625
• Koebe, P. (1907a), "Über die Uniformisierung reeller analytischer Kurven", Göttinger Nachrichten : 177–190, JFM  38.0453.01
• Koebe, P. (1907b), "Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven", Göttinger Nachrichten : 191–210, JFM  38.0454.01
• Koebe, P. (1907c), "Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven (Zweite Mitteilung)", Göttinger Nachrichten : 633–669, JFM  38.0455.02
• Koebe, Paul (1910a), "Über die Uniformisierung beliebiger analytischer Kurven", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik , 138 : 192–253, doi :10.1515/crll.1910.138.192, S2CID  120198686
• Koebe, Paul (1910b), "Über die Hilbertsche Uniformlsierungsmethode" (PDF) , Göttinger Nachrichten : 61–65
• Poincaré, H. (1882), "Mémoire sur les fonctions fuchsiennes", Acta Mathematica , 1 : 193–294, doi : 10.1007/BF02592135 , ISSN  0001-5962, JFM  15.0342.01
• Poincaré, Henri (1883), "Sur un théorème de la théorie générale des fonctions", Bulletin de la Société Mathématique de France , 11 : 112–125, doi : 10.24033/bsmf.261 , ISSN  0037-9484, JFM  15.0348.01
• Poincaré, Henri (1907), "Sur l'uniformisation des fonctions analytiques" (PDF) , Acta Mathematica , 31 : 1–63, doi : 10.1007/BF02415442 , ISSN  0001-5962, JFM  38.0452.02
• Hilbert, David (1909), "Zur Theorie der konformen Abbildung" (PDF) , Göttinger Nachrichten : 314–323
• Perron, O. (1923), "Eine neue Behandlung der ersten Randwertaufgabe für Δu=0", Mathematische Zeitschrift , 18 (1): 42–54, doi :10.1007/BF01192395, ISSN  0025-5874, S2CID  122843531
• Weyl, Hermann (1913), Die Idee der Riemannschen Fläche (reimpresión de 1997 del original alemán de 1913) , Teubner, ISBN 978-3-8154-2096-6
• Weyl, Hermann (1940), "El método de proyecciones ortogonales en la teoría del potencial", Duke Math. J. , 7 : 411–444, doi :10.1215/s0012-7094-40-00725-6

Encuestas históricas

• Abikoff, William (1981), "El teorema de uniformización", Amer. Math. Monthly , 88 (8): 574–592, doi :10.2307/2320507, JSTOR  2320507
• Gray, Jeremy (1994), "Sobre la historia del teorema de mapeo de Riemann" (PDF) , Rediconti del Circolo Matematico di Palermo. Serie II. Suplemento (34): 47–94, SEÑOR  1295591
• Bottazzini, Umberto; Gray, Jeremy (2013), Armonía oculta: fantasías geométricas: el auge de la teoría de funciones complejas , Fuentes y estudios en la historia de las matemáticas y las ciencias físicas, Springer, ISBN 978-1461457251
• de Saint-Gervais, Henri Paul (2016), Uniformización de superficies de Riemann: revisitando un teorema de hace cien años , traducido por Robert G. Burns, European Mathematical Society, doi :10.4171/145, ISBN 978-3-03719-145-3, traducción del texto en francés (preparado en 2007 durante el centenario de los artículos de 1907 de Koebe y Poincaré)

Funciones armónicas

El método de Perron

• Heins, M. (1949), "El mapeo conforme de superficies de Riemann simplemente conexas", Ann. of Math. , 50 (3): 686–690, doi :10.2307/1969555, JSTOR  1969555
• Heins, M. (1951), "Mapeo interior de una superficie orientable en S ² ", Proc. Amer. Math. Soc. , 2 (6): 951–952, doi : 10.1090/s0002-9939-1951-0045221-4
• Heins, M. (1957), "La aplicación conforme de superficies de Riemann simplemente conexas. II" (PDF) , Nagoya Math. J. , 12 : 139–143, doi : 10.1017/s002776300002198x
• Pfluger, Albert (1957), Theorie der Riemannschen Flächen , Springer
• Ahlfors, Lars V. (2010), Invariantes conformes: temas en la teoría de funciones geométricas , AMS Chelsea Publishing, ISBN 978-0-8218-5270-5
• Beardon, AF (1984), "Una introducción a las superficies de Riemann" , London Mathematical Society Lecture Note Series , 78 , Cambridge University Press, ISBN 978-0521271042
• Forster, Otto (1991), Lecciones sobre superficies de Riemann , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 81, traducido por Bruce Gilligan, Springer, ISBN 978-0-387-90617-1
• Farkas, Hershel M.; Kra, Irwin (1980), Superficies de Riemann (2ª ed.), Springer, ISBN 978-0-387-90465-8
• Gamelin, Theodore W. (2001), Análisis complejo , Textos de pregrado en matemáticas, Springer, ISBN 978-0-387-95069-3
• Hubbard, John H. (2006), Teoría de Teichmüller y aplicaciones a la geometría, la topología y la dinámica. Vol. 1. Teoría de Teichmüller , Matrix Editions, ISBN 978-0971576629
• Schlag, Wilhelm (2014), Un curso de análisis complejo y superficies de Riemann. , Estudios de posgrado en matemáticas, vol. 154, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-9847-5

El método alterno de Schwarz

• Nevanlinna, Rolf (1953), Uniformisierung , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete, vol. 64, Springer, doi :10.1007/978-3-642-52801-9, ISBN 978-3-642-52802-6
• Behnke, Heinrich; Sommer, Friedrich (1965), Theorie der analytischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 77 (3ª ed.), Springer
• Freitag, Eberhard (2011), Análisis complejo. 2. Superficies de Riemann, varias variables complejas, funciones abelianas, funciones modulares superiores , Springer, ISBN 978-3-642-20553-8

Principio de Dirichlet

• Weyl, Hermann (1964), El concepto de superficie de Riemann , traducido por Gerald R. MacLane, Addison-Wesley, MR  0069903
• Courant, Richard (1977), Principio de Dirichlet, mapeo conforme y superficies mínimas , Springer, ISBN 978-0-387-90246-3
• Siegel, CL (1988), Temas de teoría de funciones complejas. Vol. I. Funciones elípticas y teoría de uniformización , traducido por A. Shenitzer; D. Solitar, Wiley, ISBN 978-0471608448

Método de proyección ortogonal de Weyl

• Springer, George (1957), Introducción a las superficies de Riemann , Addison-Wesley, MR  0092855
• Kodaira, Kunihiko (2007), Análisis complejo , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 107, Cambridge University Press, ISBN 9780521809375
• Donaldson, Simon (2011), Superficies de Riemann , Oxford Graduate Texts in Mathematics, vol. 22, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-960674-0

Operadores de Sario

• Sario, Leo (1952), "Un método de operador lineal sobre superficies de Riemann arbitrarias", Trans. Amer. Math. Soc. , 72 (2): 281–295, doi : 10.1090/s0002-9947-1952-0046442-2
• Ahlfors, Lars V.; Sario, Leo (1960), Superficies de Riemann , Princeton Mathematical Series, vol. 26, Princeton University Press

Ecuaciones diferenciales no lineales

Ecuación de Beltrami

• Ahlfors, Lars V. (2006), Lectures on quasiconformal mappings , Serie de conferencias universitarias, vol. 38 (2.ª ed.), American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3644-6
• Ahlfors, Lars V.; Bers, Lipman (1960), "Teorema de mapeo de Riemann para métricas variables", Ann. of Math. , 72 (2): 385–404, doi :10.2307/1970141, JSTOR  1970141
• Bers, Lipman (1960), "Uniformización simultánea" (PDF) , Bull. Amer. Math. Soc. , 66 (2): 94–97, doi : 10.1090/s0002-9904-1960-10413-2
• Bers, Lipman (1961), "Uniformización por ecuaciones de Beltrami", Comm. Pure Appl. Math. , 14 (3): 215–228, doi :10.1002/cpa.3160140304
• Bers, Lipman (1972), "Uniformización, módulos y grupos kleinianos", The Bulletin of the London Mathematical Society , 4 (3): 257–300, doi :10.1112/blms/4.3.257, ISSN  0024-6093, MR  0348097

Mapas armónicos

• Jost, Jürgen (2006), Superficies compactas de Riemann: una introducción a las matemáticas contemporáneas (3.ª ed.), Springer, ISBN 978-3-540-33065-3

Ecuación de Liouville

• Berger, Melvyn S. (1971), "Estructuras riemannianas de curvatura gaussiana prescrita para 2-variedades compactas", Journal of Differential Geometry , 5 (3–4): 325–332, doi : 10.4310/jdg/1214429996
• Berger, Melvyn S. (1977), No linealidad y análisis funcional , Academic Press, ISBN 978-0-12-090350-4
• Taylor, Michael E. (2011), Ecuaciones diferenciales parciales III. Ecuaciones no lineales , Applied Mathematical Sciences, vol. 117 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-1-4419-7048-0

Flujos en métricas de Riemann

• Hamilton, Richard S. (1988), "El flujo de Ricci en superficies", Matemáticas y relatividad general (Santa Cruz, CA, 1986) , Contemp. Math., vol. 71, American Mathematical Society, págs. 237–262
• Chow, Bennett (1991), "El flujo de Ricci en la esfera bidimensional", J. Differential Geom. , 33 (2): 325–334, doi : 10.4310/jdg/1214446319
• Osgood, B.; Phillips, R.; Sarnak, P. (1988), "Extremos de determinantes de laplacianos", J. Funct. Anal. , 80 : 148–211, CiteSeerX  10.1.1.486.558 , doi :10.1016/0022-1236(88)90070-5
• Chrusciel, P. (1991), "Existencia semiglobal y convergencia de soluciones de la ecuación de Robinson-Trautman (Calabi bidimensional)", Communications in Mathematical Physics , 137 (2): 289–313, Bibcode :1991CMaPh.137..289C, CiteSeerX  10.1.1.459.9029 , doi :10.1007/bf02431882, S2CID  53641998
• Chang, Shu-Cheng (2000), "Existencia global y convergencia de soluciones de flujo de Calabi en superficies de género h  ≥ 2", J. Math. Universidad de Kioto , 40 (2): 363–377, doi : 10.1215/kjm/1250517718
• Brendle, Simon (2010), El flujo de Ricci y el teorema de la esfera , Graduate Studies in Mathematics, vol. 111, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-4938-5
• Chen, Xiuxiong; Lu, Peng; Tian, ​​Gang (2006), "Una nota sobre la uniformización de superficies de Riemann mediante flujo de Ricci", Actas de la American Mathematical Society , 134 (11): 3391–3393, doi : 10.1090/S0002-9939-06-08360-2 , ISSN  0002-9939, MR  2231924
• Andrews, Ben; Bryan, Paul (2010), "Límites de curvatura por comparación isoperimétrica para flujo de Ricci normalizado en dos esferas", Calc. Var. Partial Differential Equations , 39 (3–4): 419–428, arXiv : 0908.3606 , doi :10.1007/s00526-010-0315-5, S2CID  1095459
• Mazzeo, Rafe; Taylor, Michael (2002), "Curvatura y uniformización", Israel Journal of Mathematics , 130 : 323–346, arXiv : math/0105016 , doi : 10.1007/bf02764082 , S2CID  7192529
• Struwe, Michael (2002), "Flujos de curvatura en superficies", Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. , 1 : 247–274

Referencias generales

• Chern, Shiing-shen (1955), "Una prueba elemental de la existencia de parámetros isotérmicos en una superficie", Proc. Amer. Math. Soc. , 6 (5): 771–782, doi : 10.2307/2032933 , JSTOR  2032933
• DeTurck, Dennis M.; Kazdan, Jerry L. (1981), "Algunos teoremas de regularidad en la geometría de Riemann", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 14 (3): 249–260, doi : 10.24033/asens.1405 , ISSN  0012- 9593, señor  0644518.
• Gusevskii, NA (2001) [1994], "Uniformización", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Krushkal, SL; Apanasov, BN; Gusevskiĭ, NA (1986) [1981], Grupos kleinianos y uniformización en ejemplos y problemas, Traducciones de monografías matemáticas, vol. 62, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-4516-5, Sr.  0647770
• Taylor, Michael E. (1996a), Ecuaciones diferenciales parciales I: teoría básica , Springer, págs. 376–378, ISBN 978-0-387-94654-2
• Taylor, Michael E. (1996b), Ecuaciones diferenciales parciales II: estudios cualitativos de ecuaciones lineales , Springer, ISBN 978-0-387-94651-1
• Bers, Lipman; John, Fritz; Schechter, Martin (1979), Ecuaciones diferenciales parciales (reimpresión del original de 1964) , Lectures in Applied Mathematics, vol. 3A, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-0049-2
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principios de geometría algebraica , Wiley, ISBN 978-0-471-05059-9
• Warner, Frank W. (1983), Fundamentos de variedades diferenciables y grupos de Lie , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 94, Springer, doi : 10.1007/978-1-4757-1799-0, ISBN 978-0-387-90894-6

Enlaces externos

• Transformación conforme: de círculo a cuadrado.