Turbulencia

En dinámica de fluidos , la turbulencia o flujo turbulento es el movimiento de un fluido que se caracteriza por cambios caóticos en la presión y la velocidad del flujo . Es un contraste con el flujo laminar , que se produce cuando un fluido fluye en capas paralelas sin interrupción entre ellas. ^[2]

La turbulencia se observa comúnmente en fenómenos cotidianos como el oleaje , ríos de corriente rápida, nubes de tormenta ondulantes o humo de una chimenea, y la mayoría de los flujos de fluidos que ocurren en la naturaleza o se crean en aplicaciones de ingeniería son turbulentos. ^[3]^[4]^{: 2} La turbulencia es causada por una energía cinética excesiva en partes de un flujo de fluido, que supera el efecto amortiguador de la viscosidad del fluido. Por esta razón, la turbulencia se realiza comúnmente en fluidos de baja viscosidad. En términos generales, en el flujo turbulento, aparecen vórtices inestables de muchos tamaños que interactúan entre sí, por lo que aumenta la resistencia debido a los efectos de fricción.

El inicio de la turbulencia se puede predecir mediante el número de Reynolds adimensional , la relación entre la energía cinética y la amortiguación viscosa en un flujo de fluido. Sin embargo, la turbulencia ha resistido durante mucho tiempo el análisis físico detallado, y las interacciones dentro de la turbulencia crean un fenómeno muy complejo. El físico Richard Feynman describió la turbulencia como el problema sin resolver más importante en la física clásica. ^[5]

La intensidad de la turbulencia afecta a muchos campos, por ejemplo, la ecología de los peces, ^[6] la contaminación del aire, ^[7] las precipitaciones, ^[8] y el cambio climático. ^[9]

Ejemplos de turbulencia

Humo que sale de un cigarrillo . Durante los primeros centímetros, el humo es laminar . La columna de humo se vuelve turbulenta a medida que aumenta su número de Reynolds con el aumento de la velocidad del flujo y la escala de longitud característica.
Flujo sobre una pelota de golf . (Esto se puede entender mejor si consideramos que la pelota de golf está estacionaria y que el aire fluye sobre ella). Si la pelota de golf fuera lisa, el flujo de la capa límite sobre la parte delantera de la esfera sería laminar en condiciones típicas. Sin embargo, la capa límite se separaría pronto, ya que el gradiente de presión cambiaría de favorable (la presión disminuye en la dirección del flujo) a desfavorable (la presión aumenta en la dirección del flujo), lo que crearía una gran región de baja presión detrás de la pelota que genera una gran resistencia de forma . Para evitar esto, la superficie tiene hoyuelos para perturbar la capa límite y promover la turbulencia. Esto da como resultado una mayor fricción superficial, pero mueve el punto de separación de la capa límite más adelante, lo que da como resultado una menor resistencia.
Turbulencia en aire despejado que se experimenta durante el vuelo del avión, así como mala visibilidad astronómica (la visión borrosa de las imágenes vistas a través de la atmósfera).
La mayor parte de la circulación atmosférica terrestre .
Las capas mixtas oceánicas y atmosféricas y las corrientes oceánicas intensas.
Las condiciones de flujo en muchos equipos industriales (como tuberías, conductos, precipitadores, depuradores de gases , intercambiadores de calor dinámicos de superficie rascada , etc.) y máquinas (por ejemplo, motores de combustión interna y turbinas de gas ).
El flujo externo sobre todo tipo de vehículos como automóviles, aviones, barcos y submarinos.
Los movimientos de la materia en las atmósferas estelares.
Un chorro que sale de una boquilla hacia un fluido en reposo. A medida que el flujo emerge hacia este fluido externo, se crean capas de cizallamiento que se originan en los labios de la boquilla. Estas capas separan el chorro en rápido movimiento del fluido externo y, en un cierto número crítico de Reynolds, se vuelven inestables y se descomponen en turbulencia.
La turbulencia generada biológicamente por la natación de los animales afecta la mezcla del océano. ^[10]
Las vallas de nieve funcionan induciendo turbulencia en el viento, obligándolo a dejar caer gran parte de su carga de nieve cerca de la valla.
Soportes de puentes (pilares) en el agua. Cuando el caudal del río es lento, el agua fluye suavemente alrededor de los pilares de apoyo. Cuando el caudal es más rápido, se asocia un número de Reynolds más alto con el flujo. El flujo puede comenzar siendo laminar, pero rápidamente se separa del pilar y se vuelve turbulento.
En muchos flujos geofísicos (ríos, capa límite atmosférica), la turbulencia del flujo está dominada por las estructuras coherentes y los eventos turbulentos. Un evento turbulento es una serie de fluctuaciones turbulentas que contienen más energía que la turbulencia promedio del flujo. ^[11]^[12] Los eventos turbulentos están asociados con estructuras de flujo coherente, como remolinos y estallidos turbulentos, y desempeñan un papel crítico en términos de erosión, acreción y transporte de sedimentos en los ríos, así como en la mezcla y dispersión de contaminantes en ríos y estuarios, y en la atmósfera.

Problema sin resolver en física :

¿Es posible elaborar un modelo teórico para describir el comportamiento de un flujo turbulento, en particular, sus estructuras internas?

(más problemas sin resolver en física)

En el campo médico de la cardiología , se utiliza un estetoscopio para detectar los ruidos y soplos del corazón , que se deben al flujo sanguíneo turbulento. En individuos normales, los ruidos del corazón son producto del flujo turbulento a medida que las válvulas cardíacas se cierran. Sin embargo, en algunas condiciones, el flujo turbulento puede ser audible debido a otras razones, algunas de ellas patológicas. Por ejemplo, en la aterosclerosis avanzada , se pueden escuchar soplos (y, por lo tanto, flujo turbulento) en algunos vasos que se han estrechado por el proceso de la enfermedad.
Recientemente, la turbulencia en medios porosos se ha convertido en un tema muy debatido. ^[13]
Las estrategias utilizadas por los animales para la navegación olfativa y su éxito están fuertemente influenciados por la turbulencia que afecta la columna de olor. ^[14]^[15]

Características

La turbulencia se caracteriza por las siguientes características:

Irregularidad: Los flujos turbulentos son siempre muy irregulares. Por este motivo, los problemas de turbulencia se suelen tratar de forma estadística en lugar de determinista. El flujo turbulento es caótico. Sin embargo, no todos los flujos caóticos son turbulentos.

Difusividad: La disponibilidad inmediata de energía en flujos turbulentos tiende a acelerar la homogeneización (mezcla) de mezclas de fluidos. La característica responsable de la mezcla mejorada y del aumento de las tasas de transporte de masa, momento y energía en un flujo se denomina "difusividad". ^[16]

La difusión turbulenta se describe generalmente mediante un coeficiente de difusión turbulenta . Este coeficiente de difusión turbulenta se define en un sentido fenomenológico, por analogía con las difusividades moleculares, pero no tiene un verdadero significado físico, ya que depende de las condiciones del flujo y no es una propiedad del fluido en sí. Además, el concepto de difusividad turbulenta supone una relación constitutiva entre un flujo turbulento y el gradiente de una variable media similar a la relación entre flujo y gradiente que existe para el transporte molecular. En el mejor de los casos, esta suposición es solo una aproximación. Sin embargo, la difusividad turbulenta es el enfoque más simple para el análisis cuantitativo de flujos turbulentos, y se han postulado muchos modelos para calcularla. Por ejemplo, en grandes cuerpos de agua como los océanos, este coeficiente se puede encontrar utilizando la ley de potencia de cuatro tercios de Richardson y se rige por el principio de caminata aleatoria . En ríos y grandes corrientes oceánicas, el coeficiente de difusión se da por variaciones de la fórmula de Elder.

Rotacionalidad: Los flujos turbulentos tienen una vorticidad distinta de cero y se caracterizan por un fuerte mecanismo de generación de vórtices tridimensionales conocido como estiramiento de vórtices . En dinámica de fluidos, son esencialmente vórtices sometidos a estiramiento asociado con un aumento correspondiente del componente de vorticidad en la dirección de estiramiento, debido a la conservación del momento angular. Por otro lado, el estiramiento de vórtices es el mecanismo central en el que se basa la cascada de energía de turbulencia para establecer y mantener una función de estructura identificable. ^[17] En general, el mecanismo de estiramiento implica un adelgazamiento de los vórtices en la dirección perpendicular a la dirección de estiramiento debido a la conservación del volumen de los elementos del fluido. Como resultado, la escala de longitud radial de los vórtices disminuye y las estructuras de flujo más grandes se descomponen en estructuras más pequeñas. El proceso continúa hasta que las estructuras de pequeña escala son lo suficientemente pequeñas como para que su energía cinética pueda ser transformada por la viscosidad molecular del fluido en calor. El flujo turbulento es siempre rotacional y tridimensional. ^[17] Por ejemplo, los ciclones atmosféricos son rotacionales, pero sus formas sustancialmente bidimensionales no permiten la generación de vórtices y, por lo tanto, no son turbulentos. Por otra parte, los flujos oceánicos son dispersivos, pero esencialmente no rotacionales y, por lo tanto, no son turbulentos. ^[17]

Disipación: Para mantener un flujo turbulento, se requiere una fuente constante de suministro de energía, ya que la turbulencia se disipa rápidamente a medida que la energía cinética se convierte en energía interna por la tensión de corte viscosa. La turbulencia provoca la formación de remolinos de muchas escalas de longitud diferentes. La mayor parte de la energía cinética del movimiento turbulento está contenida en las estructuras de gran escala. La energía "se transmite en cascada" desde estas estructuras de gran escala a estructuras de menor escala mediante un mecanismo inercial y esencialmente no viscoso . Este proceso continúa, creando estructuras cada vez más pequeñas que producen una jerarquía de remolinos. Finalmente, este proceso crea estructuras que son lo suficientemente pequeñas como para que la difusión molecular se vuelva importante y finalmente se produzca la disipación viscosa de energía. La escala a la que esto sucede es la escala de longitud de Kolmogorov .

A través de esta cascada de energía , el flujo turbulento puede realizarse como una superposición de un espectro de fluctuaciones de velocidad de flujo y remolinos sobre un flujo medio . Los remolinos se definen vagamente como patrones coherentes de velocidad de flujo, vorticidad y presión. Los flujos turbulentos pueden considerarse como formados por una jerarquía completa de remolinos en un amplio rango de escalas de longitud y la jerarquía puede describirse por el espectro de energía que mide la energía en fluctuaciones de velocidad de flujo para cada escala de longitud ( número de onda ). Las escalas en la cascada de energía son generalmente incontrolables y altamente no simétricas. Sin embargo, en función de estas escalas de longitud, estos remolinos pueden dividirse en tres categorías.

Escala de tiempo integral

La escala de tiempo integral para un flujo lagrangiano se puede definir como:

T=\left({\frac {1}{\langle u'u'\rangle }}\right)\int _ {0}^{\infty }\langle u'u'(\tau )\ rango \,d\tau

donde u ′ es la fluctuación de la velocidad y es el intervalo de tiempo entre mediciones. ^[18] ${\estilo de visualización \tau}$

Escalas de longitud integral

Los grandes remolinos obtienen energía del flujo medio y también entre sí. Por lo tanto, estos son los remolinos de producción de energía que contienen la mayor parte de la energía. Tienen una gran fluctuación de la velocidad de flujo y son de baja frecuencia. Las escalas integrales son altamente anisotrópicas y se definen en términos de las correlaciones de velocidad de flujo de dos puntos normalizadas. La longitud máxima de estas escalas está limitada por la longitud característica del aparato. Por ejemplo, la escala de longitud integral más grande del flujo de tuberías es igual al diámetro de la tubería. En el caso de la turbulencia atmosférica, esta longitud puede alcanzar hasta el orden de varios cientos de kilómetros. La escala de longitud integral se puede definir como

L=\left({\frac {1}{\langle u'u'\rangle }}\right)\int _{0}^{\infty }\langle u'u'(r)\rangle \,dr

donde r es la distancia entre dos ubicaciones de medición y u ′ es la fluctuación de la velocidad en esa misma dirección. ^[18]

Escalas de longitud de Kolmogorov

Las escalas más pequeñas del espectro que forman el rango de la subcapa viscosa. En este rango, la entrada de energía de las interacciones no lineales y la pérdida de energía de la disipación viscosa están en equilibrio exacto. Las escalas pequeñas tienen alta frecuencia, lo que hace que la turbulencia sea localmente isotrópica y homogénea.

Microescalas de Taylor

Las escalas intermedias entre las escalas más grandes y más pequeñas que forman el subrango inercial. Las microescalas de Taylor no son escalas disipativas, sino que transmiten la energía desde la más grande a la más pequeña sin disipación. Algunas publicaciones no consideran las microescalas de Taylor como una escala de longitud característica y consideran que la cascada de energía contiene solo las escalas más grandes y más pequeñas; mientras que estas últimas dan cabida tanto al subrango inercial como a la subcapa viscosa. Sin embargo, las microescalas de Taylor se utilizan a menudo para describir el término "turbulencia" de forma más conveniente, ya que estas microescalas de Taylor desempeñan un papel dominante en la transferencia de energía y momento en el espacio de números de onda.

Aunque es posible encontrar algunas soluciones particulares de las ecuaciones de Navier-Stokes que gobiernan el movimiento de fluidos, todas estas soluciones son inestables a perturbaciones finitas en grandes números de Reynolds. La dependencia sensible de las condiciones iniciales y de contorno hace que el flujo de fluido sea irregular tanto en el tiempo como en el espacio, de modo que se necesita una descripción estadística. El matemático ruso Andrey Kolmogorov propuso la primera teoría estadística de la turbulencia, basada en la noción antes mencionada de la cascada de energía (una idea introducida originalmente por Richardson ) y el concepto de autosimilitud . Como resultado, las microescalas de Kolmogorov recibieron su nombre. Ahora se sabe que la autosimilitud está rota, por lo que la descripción estadística se modifica actualmente. ^[19]

Una descripción completa de la turbulencia es uno de los problemas sin resolver de la física . Según una historia apócrifa, a Werner Heisenberg le preguntaron qué le preguntaría a Dios si tuviera la oportunidad. Su respuesta fue: "Cuando me encuentre con Dios, le voy a hacer dos preguntas: ¿Por qué la relatividad ? ¿Y por qué la turbulencia? Realmente creo que tendrá una respuesta para la primera". ^[20]^[a] Se le ha atribuido una ocurrencia similar a Horace Lamb en un discurso ante la Asociación Británica para el Avance de la Ciencia : "Soy un hombre viejo ahora, y cuando muera y vaya al cielo hay dos asuntos sobre los que espero recibir iluminación. Uno es la electrodinámica cuántica, y el otro es el movimiento turbulento de los fluidos. Y sobre el primero soy bastante más optimista". ^[21]^[22]

Inicio de turbulencia

El inicio de la turbulencia se puede predecir, hasta cierto punto, mediante el número de Reynolds , que es la relación entre las fuerzas inerciales y las fuerzas viscosas dentro de un fluido que está sujeto a un movimiento interno relativo debido a diferentes velocidades del fluido, en lo que se conoce como una capa límite en el caso de una superficie límite como el interior de una tubería. Un efecto similar se crea mediante la introducción de una corriente de fluido de mayor velocidad, como los gases calientes de una llama en el aire. Este movimiento relativo genera fricción del fluido, que es un factor en el desarrollo del flujo turbulento. Contrarrestando este efecto está la viscosidad del fluido, que a medida que aumenta, inhibe progresivamente la turbulencia, ya que un fluido más viscoso absorbe más energía cinética. El número de Reynolds cuantifica la importancia relativa de estos dos tipos de fuerzas para condiciones de flujo dadas, y es una guía para saber cuándo se producirá un flujo turbulento en una situación particular. ^[23]

Esta capacidad de predecir el inicio del flujo turbulento es una herramienta de diseño importante para equipos como sistemas de tuberías o alas de aviones, pero el número de Reynolds también se utiliza en el escalado de problemas de dinámica de fluidos y se utiliza para determinar la similitud dinámica entre dos casos diferentes de flujo de fluido, como entre un modelo de avión y su versión de tamaño real. Tal escalado no siempre es lineal y la aplicación de los números de Reynolds a ambas situaciones permite desarrollar factores de escalado. Una situación de flujo en la que la energía cinética se absorbe significativamente debido a la acción de la viscosidad molecular del fluido da lugar a un régimen de flujo laminar . Para esto, la cantidad adimensional del número de Reynolds ( $Re$ ) se utiliza como guía.

Con respecto a los regímenes de flujo laminar y turbulento:

El flujo laminar ocurre en números de Reynolds bajos, donde las fuerzas viscosas son dominantes, y se caracteriza por un movimiento de fluido suave y constante;
El flujo turbulento ocurre en números de Reynolds altos y está dominado por fuerzas inerciales, que tienden a producir remolinos caóticos , vórtices y otras inestabilidades de flujo.

El número de Reynolds se define como ^[24]

\mathrm {Re} ={\frac {\rho vL}{\mu }}\,,

dónde:

$ρ$ es la densidad del fluido ( unidades SI : kg/^m3 )
$v$ es una velocidad característica del fluido con respecto al objeto (m/s)
$L$ es una dimensión lineal característica (m)
$μ$ es la viscosidad dinámica del fluido (Pa·s o N·s/m² o kg/(m·s)).

Si bien no existe un teorema que relacione directamente el número de Reynolds adimensional con la turbulencia, los flujos con números de Reynolds mayores de 5000 son típicamente (pero no necesariamente) turbulentos, mientras que aquellos con números de Reynolds bajos generalmente permanecen laminares. En el flujo de Poiseuille , por ejemplo, la turbulencia puede sostenerse primero si el número de Reynolds es mayor que un valor crítico de aproximadamente 2040; ^[25] además, la turbulencia generalmente se intercala con flujo laminar hasta un número de Reynolds mayor de aproximadamente 4000.

La transición se produce si se aumenta gradualmente el tamaño del objeto, o se disminuye la viscosidad del fluido, o si se aumenta la densidad del fluido.

Transferencia de calor y momento

Cuando el flujo es turbulento, las partículas exhiben un movimiento transversal adicional que mejora la tasa de intercambio de energía y momento entre ellas, aumentando así la transferencia de calor y el coeficiente de fricción .

Supongamos que, en el caso de un flujo turbulento bidimensional, se puede localizar un punto específico en el fluido y medir la velocidad de flujo real $v = (v x, v y)$ de cada partícula que pasa por ese punto en un momento dado. Entonces, se hallaría que la velocidad de flujo real fluctúa alrededor de un valor medio:

v_{x}=\underbrace {{\overline {v}}_{x}} _{\text{mean value}}+\underbrace {v'_{x}} _{\text{fluctuation}}\quad {\text{and}}\quad v_{y}={\overline {v}}_{y}+v'_{y}\,;

y de manera similar para la temperatura ( $T = T + T'$ ) y la presión ( $P = P + P'$ ), donde las cantidades cebadas denotan fluctuaciones superpuestas a la media. Esta descomposición de una variable de flujo en un valor medio y una fluctuación turbulenta fue propuesta originalmente por Osborne Reynolds en 1895, y se considera que es el comienzo del análisis matemático sistemático del flujo turbulento, como un subcampo de la dinámica de fluidos. Mientras que los valores medios se toman como variables predecibles determinadas por las leyes de la dinámica, las fluctuaciones turbulentas se consideran variables estocásticas.

El flujo de calor y la transferencia de momento (representados por la tensión cortante $τ$ ) en la dirección normal al flujo durante un tiempo dado son

{\begin{aligned}q&=\underbrace {v'_{y}\rho c_{P}T'} _{\text{experimental value}}=-k_{\text{turb}}{\frac {\partial {\overline {T}}}{\partial y}}\,;\\\tau &=\underbrace {-\rho {\overline {v'_{y}v'_{x}}}} _{\text{experimental value}}=\mu _{\text{turb}}{\frac {\partial {\overline {v}}_{x}}{\partial y}}\,;\end{aligned}}

donde $c P$ es la capacidad calorífica a presión constante, $ρ$ es la densidad del fluido, $μ turb$ es el coeficiente de viscosidad turbulenta y $k turb$ es la conductividad térmica turbulenta . ^[4]

La teoría de Kolmogorov de 1941

La noción de turbulencia de Richardson era que un flujo turbulento está compuesto por "remolinos" de diferentes tamaños. Los tamaños definen una escala de longitud característica para los remolinos, que también se caracterizan por escalas de velocidad de flujo y escalas de tiempo (tiempo de rotación) que dependen de la escala de longitud. Los remolinos grandes son inestables y finalmente se desintegran dando origen a remolinos más pequeños, y la energía cinética del remolino grande inicial se divide en los remolinos más pequeños que se derivan de él. Estos remolinos más pequeños experimentan el mismo proceso, dando lugar a remolinos aún más pequeños que heredan la energía de su remolino predecesor, y así sucesivamente. De esta manera, la energía se transmite desde las grandes escalas del movimiento a escalas más pequeñas hasta alcanzar una escala de longitud suficientemente pequeña como para que la viscosidad del fluido pueda disipar eficazmente la energía cinética en energía interna.

En su teoría original de 1941, Kolmogorov postuló que para números de Reynolds muy altos , los movimientos turbulentos de pequeña escala son estadísticamente isótropos (es decir, no se puede discernir ninguna dirección espacial preferencial). En general, las grandes escalas de un flujo no son isótropas, ya que están determinadas por las características geométricas particulares de los límites (el tamaño que caracteriza las grandes escalas se denotará como $L$ ). La idea de Kolmogorov era que en la cascada de energía de Richardson esta información geométrica y direccional se pierde, mientras que la escala se reduce, de modo que las estadísticas de las pequeñas escalas tienen un carácter universal: son las mismas para todos los flujos turbulentos cuando el número de Reynolds es suficientemente alto.

De este modo, Kolmogorov introdujo una segunda hipótesis: para números de Reynolds muy altos, las estadísticas de escalas pequeñas están determinadas universal y únicamente por la viscosidad cinemática $ν$ y la tasa de disipación de energía $ε$ . Con solo estos dos parámetros, la longitud única que se puede formar mediante análisis dimensional es

\eta =\left({\frac {\nu ^{3}}{\varepsilon }}\right)^{1/4}\,.

Esto se conoce hoy como la escala de longitud de Kolmogorov (ver microescalas de Kolmogorov ).

Un flujo turbulento se caracteriza por una jerarquía de escalas a través de las cuales tiene lugar la cascada de energía. La disipación de energía cinética tiene lugar en escalas del orden de la longitud de Kolmogorov $η$ , mientras que la entrada de energía en la cascada proviene de la descomposición de las escalas grandes, de orden $L$ . Estas dos escalas en los extremos de la cascada pueden diferir en varios órdenes de magnitud en números de Reynolds altos. Entre medio hay un rango de escalas (cada una con su propia longitud característica $r$ ) que se ha formado a expensas de la energía de las grandes. Estas escalas son muy grandes en comparación con la longitud de Kolmogorov, pero aún muy pequeñas en comparación con la gran escala del flujo (es decir, $η ≪ r ≪ L$ ). Como los remolinos en este rango son mucho mayores que los remolinos disipativos que existen en las escalas de Kolmogorov, la energía cinética no se disipa esencialmente en este rango, y simplemente se transfiere a escalas más pequeñas hasta que los efectos viscosos se vuelven importantes a medida que se aproxima el orden de la escala de Kolmogorov. Dentro de este rango, los efectos inerciales son aún mucho mayores que los efectos viscosos, y es posible asumir que la viscosidad no juega un papel en su dinámica interna (por esta razón, este rango se llama "rango inercial").

Por lo tanto, una tercera hipótesis de Kolmogorov fue que para números de Reynolds muy altos, las estadísticas de escalas en el rango $η ≪ r ≪ L$ están determinadas universal y únicamente por la escala $r$ y la tasa de disipación de energía $ε$ .

La forma en que se distribuye la energía cinética sobre la multiplicidad de escalas es una caracterización fundamental de un flujo turbulento. Para la turbulencia homogénea (es decir, estadísticamente invariante bajo traslaciones del sistema de referencia), esto se hace generalmente por medio de la función de espectro de energía $E (k)$ , donde $k$ es el módulo del vector de onda correspondiente a algunos armónicos en una representación de Fourier del campo de velocidad de flujo $u (x)$ :

\mathbf {u} (\mathbf {x} )=\iiint _{\mathbb {R} ^{3}}{\hat {\mathbf {u} }}(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k\cdot x} }\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {k} \,,

donde $û (k)$ es la transformada de Fourier del campo de velocidad del flujo. Por lo tanto, $E (k) d k$ representa la contribución a la energía cinética de todos los modos de Fourier con $k < | k | < k + d k$ , y por lo tanto,

{\tfrac {1}{2}}\left\langle u_{i}u_{i}\right\rangle =\int _{0}^{\infty }E(k)\,\mathrm {d} k\,,

donde $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num{display:block;line-height:1em;margin:0.0em 0.1em;border-bottom:1px solid}.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0.1em 0.1em}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}⁠1/2⁠ ⟨ u i u i ⟩$ es la energía cinética turbulenta media del flujo. El número de onda $k$ correspondiente a la escala de longitud $r$ es $k = ⁠ 2π / a ⁠$ . Por lo tanto, mediante análisis dimensional, la única forma posible para la función del espectro de energía de acuerdo con la tercera hipótesis de Kolmogorov es

E(k)=K_{0}\varepsilon ^{\frac {2}{3}}k^{-{\frac {5}{3}}}\,,

donde sería una constante universal. Este es uno de los resultados más famosos de la teoría de Kolmogorov de 1941, ^[26] que describe el transporte de energía a través del espacio de escala sin ninguna pérdida o ganancia. La ley de los cinco tercios de Kolmogorov se observó por primera vez en un canal de marea, ^[27] y desde entonces se ha acumulado una considerable evidencia experimental que la respalda. ^[28] $K_{0}\approx 1.5$

Fuera del área inercial, se puede encontrar la fórmula ^[29] siguiente:

E(k)=K_{0}\varepsilon ^{\frac {2}{3}}k^{-{\frac {5}{3}}}\exp \left[-{\frac {3K_{0}}{2}}\left({\frac {\nu ^{3}k^{4}}{\varepsilon }}\right)^{\frac {1}{3}}\right]\,,

A pesar de este éxito, la teoría de Kolmogorov se encuentra actualmente en revisión. Esta teoría supone implícitamente que la turbulencia es estadísticamente autosimilar a diferentes escalas. Esto significa esencialmente que las estadísticas son invariantes en la escala y no intermitentes en el rango inercial. Una forma habitual de estudiar los campos de velocidad de flujo turbulento es mediante incrementos de velocidad de flujo:

\delta \mathbf {u} (r)=\mathbf {u} (\mathbf {x} +\mathbf {r} )-\mathbf {u} (\mathbf {x} )\,;

es decir, la diferencia en la velocidad del flujo entre puntos separados por un vector $r$ (ya que se supone que la turbulencia es isotrópica, el incremento de la velocidad del flujo depende solo del módulo de $r$ ). Los incrementos de la velocidad del flujo son útiles porque enfatizan los efectos de las escalas del orden de la separación $r$ cuando se calculan las estadísticas. La invariancia de escala estadística sin intermitencia implica que el escalamiento de los incrementos de la velocidad del flujo debe ocurrir con un exponente de escala único $β$ , de modo que cuando $r$ se escala por un factor $λ$ ,

\delta \mathbf {u} (\lambda r)

debe tener la misma distribución estadística que

\lambda ^{\beta }\delta \mathbf {u} (r)\,,

con $β$ independiente de la escala $r$ . De este hecho y otros resultados de la teoría de Kolmogorov de 1941 se deduce que los momentos estadísticos de los incrementos de velocidad del flujo (conocidos como funciones de estructura en turbulencia) deberían escalar como

{\Big \langle }{\big (}\delta \mathbf {u} (r){\big )}^{n}{\Big \rangle }=C_{n}\langle (\varepsilon r)^{\frac {n}{3}}\rangle \,,

donde los paréntesis denotan el promedio estadístico y $C n$ serían constantes universales.

Hay evidencia considerable de que los flujos turbulentos se desvían de este comportamiento. Los exponentes de escala se desvían de $la$ $norte / 3 ⁠$ valor predicho por la teoría, convirtiéndose en una función no lineal del orden $n$ de la función de estructura. También se ha cuestionado la universalidad de las constantes. Para órdenes bajos la discrepancia con la ecuación de Kolmogorov $⁠$ $norte / 3 El$ valor es muy pequeño, lo que explica el éxito de la teoría de Kolmogorov en lo que respecta a los momentos estadísticos de orden bajo. En particular, se puede demostrar que cuando el espectro de energía sigue una ley de potencia

E(k)\propto k^{-p}\,,

con $1 < p < 3$ , la función de estructura de segundo orden también tiene una ley de potencia, con la forma

{\Big \langle }{\big (}\delta \mathbf {u} (r){\big )}^{2}{\Big \rangle }\propto r^{p-1}\,,

Dado que los valores experimentales obtenidos para la función de estructura de segundo orden solo se desvían ligeramente de los ⁠2/3⁠ valor predicho por la teoría de Kolmogorov, el valor de $p$ es muy cercano a ⁠5/3⁠ (las diferencias son de alrededor del 2% ^[30] ). Por lo tanto, la "Kolmogorov − ⁠5/3⁠ El "espectro" se observa generalmente en turbulencia. Sin embargo, para funciones de estructura de alto orden, la diferencia con la escala de Kolmogorov es significativa y la ruptura de la autosimilitud estadística es clara. Este comportamiento, y la falta de universalidad de las constantes $C n$ , están relacionados con el fenómeno de intermitencia en turbulencia y pueden relacionarse con el comportamiento de escala no trivial de la tasa de disipación promediada sobre la escala $r$ . ^[31] Esta es un área importante de investigación en este campo, y un objetivo principal de la teoría moderna de la turbulencia es comprender qué es universal en el rango inercial y cómo deducir propiedades de intermitencia a partir de las ecuaciones de Navier-Stokes, es decir, a partir de primeros principios.

Véase también

Notas

↑ La historia también se ha atribuido a John von Neumann , Arnold Sommerfeld , Theodore von Kármán y Albert Einstein .

Referencias

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Lectura adicional

Enlaces externos

Centro de Investigación de Turbulencias, Artículos científicos y libros sobre turbulencias
Centro de Investigación de Turbulencias, Universidad de Stanford
Artículo de Scientific American
Pronóstico de turbulencias en el aire
Base de datos internacional de CFD iCFDdatabase
Flujo turbulento en una tubería en YouTube
Sitio web de mecánica de fluidos con películas, preguntas y respuestas, etc.
Base de datos pública de Johns Hopkins con datos de simulación numérica directa
Base de datos pública TurBase con datos experimentales de las Infraestructuras Europeas de Alto Rendimiento en Turbulencia (EuHIT)