simplex

Los cuatro símplex que se pueden representar completamente en el espacio 3D.

En geometría , un simplex (plural: simplexes o simplexes ) es una generalización de la noción de triángulo o tetraedro a dimensiones arbitrarias . El simplex se llama así porque representa el politopo más simple posible en cualquier dimensión dada. Por ejemplo,

un simplex de dimensión 0 es un punto ,
un simplex unidimensional es un segmento de línea ,
un simplex bidimensional es un triángulo ,
un simplex tridimensional es un tetraedro , y
un simplex de 4 dimensiones es un de 5 celdas .

Específicamente, un $k$ -simplex es un politopo $k$ -dimensional que es el casco convexo de sus $k$ $+ 1$ vértices . Más formalmente, supongamos que los $k$ $+ 1$ puntos son afínmente independientes , lo que significa que los $k$ vectores son linealmente independientes . Entonces, el símplex determinado por ellos es el conjunto de puntos ${\ Displaystyle u_ {0}, \ puntos, u_ {k}}$ $u_{1}-u_{0},\dots,u_{k}-u_{0}$

C=\left\{\theta _{0}u_{0}+\dots +\theta _{k}u_{k}~{\Bigg |}~\sum _{i=0}^{ k}\theta _{i}=1{\mbox{ y }}\theta _{i}\geq 0{\mbox{ para }}i=0,\dots ,k\right\}.

Un simplex regular ^[1] es un simplex que también es un politopo regular . Un $k$ -símplex regular se puede construir a partir de un $(k - 1)$ -símplex regular conectando un nuevo vértice a todos los vértices originales mediante la longitud del borde común.

El simplex estándar o simplex de probabilidad ^[2] es el simplex $(k - 1)$ -dimensional cuyos vértices son los $k$ vectores unitarios estándar en , o en otras palabras $\mathbf {R} ^{k}$

\left\{x\in \mathbf {R} ^{k}:x_{0}+\dots +x_{k-1}=1,x_{i}\geq 0{\text{ para } }i=0,\puntos,k-1\derecha\}.

En topología y combinatoria , es común "pegar" simples para formar un complejo simplicial . La estructura combinatoria asociada se llama complejo simplicial abstracto , en cuyo contexto la palabra "simplex" simplemente significa cualquier conjunto finito de vértices.

Historia

El concepto de simplex era conocido por William Kingdon Clifford , quien escribió sobre estas formas en 1886 pero las llamó "límites primarios". Henri Poincaré , escribiendo sobre topología algebraica en 1900, los llamó "tetraedros generalizados". En 1902, Pieter Hendrik Schoute describió el concepto primero con el superlativo latino simplicissimum ("el más simple") y luego con el mismo adjetivo latino en la forma normal simplex ("simple"). ^[3]

La familia simplex regular es la primera de tres familias de politopos regulares , etiquetadas por Donald Coxeter como $α n$ , las otras dos son la familia de politopos cruzados , etiquetada como $β n$ , y los hipercubos , etiquetados como $γ n$ . Una cuarta familia, la teselación del espacio $n$ -dimensional por infinitos hipercubos , la denominó $δ n$ . ^[4]

Elementos

La cáscara convexa de cualquier subconjunto no vacío de los $n$ $+ 1$ puntos que definen un $n$ -símplex se llama cara del símplex. Los rostros son simples en sí mismos. En particular, el casco convexo de un subconjunto de tamaño $m$ $+ 1$ (de los $n$ $+ 1$ puntos que definen) es un $m$ -símplex, llamado $m$ -cara del $n$ -símplex. Las caras 0 (es decir, los puntos que se definen como conjuntos de tamaño 1) se llaman vértices ( singular: vértice), las caras 1 se llaman aristas , las caras ( $n$ $- 1$ ) se llaman facetas y la única $n$ -cara es la totalidad $del n$ -símplex mismo. En general, el número de $m$ -caras es igual al coeficiente binomial . ^[5] En consecuencia, el número de $m$ -caras de un $n$ -simplex se puede encontrar en la columna ( $m$ $+ 1$ ) de la fila ( $n$ $+ 1$ ) del triángulo de Pascal . Un simplex $A$ es una cocara de un simplex $B$ si $B$ es una cara de $A.$ Cara y faceta pueden tener diferentes significados al describir tipos de simples en un complejo simplicial . ${\tbinom {n+1}{m+1}}$

El vector f extendido para un $n$ -simplex se puede calcular mediante $(1, 1) n +1$ , como los coeficientes de los productos polinomiales . Por ejemplo, un 7 -símplex es ( 1 , 1 ) ⁸ = ( 1,2 , 1 ) ⁴ = ( 1,4,6,4, 1 ) ² = ( 1,8,28,56,70,56 , 28,8, 1 ).

El número de 1 caras (aristas) del $n$ -simplex es el $n$ -ésimo número del triángulo , el número de 2 caras del $n$ -simplex es el $(n - 1)$ ésimo número del tetraedro , el número de 3 caras del $n$ -simplex es el $(n - 2)$ ésimo número de 5 celdas, y así sucesivamente.

Un $n$ -simplex es el politopo con la menor cantidad de vértices que requiere $n$ dimensiones. Considere un segmento de línea AB como una forma en un espacio unidimensional (el espacio unidimensional es la línea en la que se encuentra el segmento). Se puede colocar un nuevo punto $C$ en algún lugar fuera de la línea. La nueva forma, el triángulo ABC , requiere dos dimensiones; no puede caber en el espacio unidimensional original. El triángulo es el 2-símplex, una forma simple que requiere dos dimensiones. Considere un triángulo ABC , una forma en un espacio bidimensional (el plano en el que reside el triángulo). Se puede colocar un nuevo punto $D$ en algún lugar fuera del avión. La nueva forma, el tetraedro ABCD , requiere tres dimensiones; no puede caber en el espacio bidimensional original. El tetraedro es el 3-símplex, una forma simple que requiere tres dimensiones. Considere el tetraedro ABCD , una forma en un espacio tridimensional (el espacio tridimensional en el que se encuentra el tetraedro). Se puede colocar un nuevo punto $E$ en algún lugar fuera del espacio 3. La nueva forma ABCDE , llamada de 5 celdas, requiere cuatro dimensiones y se llama 4-símplex; no puede caber en el espacio tridimensional original. (Tampoco se puede visualizar fácilmente). Esta idea se puede generalizar, es decir, agregar un único punto nuevo fuera del espacio actualmente ocupado, lo que requiere ir a la siguiente dimensión superior para mantener la nueva forma. Esta idea también se puede trabajar al revés: el segmento de línea con el que comenzamos es una forma simple que requiere un espacio unidimensional para contenerlo; el segmento de recta es el 1-símplex. El segmento de línea en sí se formó comenzando con un solo punto en el espacio de 0 dimensiones (este punto inicial es el 0-símplex) y agregando un segundo punto, lo que requirió el aumento al espacio de 1 dimensión.

Más formalmente, un $(n + 1)$ -simplex se puede construir como una unión (operador ∨) de un $n$ -simplex y un punto, $()$ . Un $(m + n + 1)$ -simplex se puede construir como una unión de un $m$ -simplex y un $n$ -simplex. Los dos simples están orientados para ser completamente normales entre sí, con traslación en una dirección ortogonal a ambos. Un 1-símplex es la unión de dos puntos: $( ) \lor ( ) = 2 \cdot ( )$ . Un 2-símplex general (triángulo escaleno) es la unión de tres puntos: $( ) \lor ( ) \lor ( )$ . Un triángulo isósceles es la unión de un 1-símplex y un punto: ${ } \lor ( )$ . Un triángulo equilátero es 3 ⋅ ( ) o {3}. Un 3-símplex general es la unión de 4 puntos: $( ) \lor ( ) \lor ( ) \lor ( )$ . Un 3-símplex con simetría especular se puede expresar como la unión de una arista y dos puntos: ${ } \lor ( ) \lor ( )$ . Un 3-símplex con simetría triangular se puede expresar como la unión de un triángulo equilátero y 1 punto: $3.( )\lor( )$ o ${3}\lor( )$ . Un tetraedro regular es $4 \cdot ( )$ o {3,3} y así sucesivamente.

En algunas convenciones, ^[7] el conjunto vacío se define como un (−1)-símplex. La definición anterior de simplex todavía tiene sentido si $n = -1$ . Esta convención es más común en aplicaciones de topología algebraica (como la homología simplicial ) que en el estudio de politopos.

Gráficas simétricas de simples regulares.

Estos polígonos de Petrie (proyecciones ortogonales sesgadas) muestran todos los vértices del simplex regular en un círculo y todos los pares de vértices conectados por aristas.

simplex estándar

El estándar $n$ -simplex (o unidad $n$ -simplex ) es el subconjunto de $R n +1$ dado por

\Delta ^{n}=\left\{(t_{0},\dots ,t_{n})\in \mathbf {R} ^{n+1}~{\Bigg |}~\sum _{i=0}^{n}t_{i}=1{\text{ y }}t_{i}\geq 0{\text{ para }}i=0,\ldots ,n\right\}

El simplex $Δ n$ se encuentra en el hiperplano afín obtenido al eliminar la restricción $t i \geq 0$ en la definición anterior.

Los $n + 1$ vértices del estándar $n$ -simplex son los puntos $e i \in R n +1$ , donde

mi 0 = (1, 0, 0, ..., 0),

mi 1 = (0, 1, 0, ..., 0),

⋮

mi norte = (0, 0, 0, ..., 1)

Un simplex estándar es un ejemplo de un politopo 0/1 , con todas las coordenadas como 0 o 1. También se puede ver una faceta de un ortoplex regular ( $n + 1)$ .

Hay un mapa canónico del $n$ -simplex estándar a un $n$ -simplex arbitrario con vértices ( $v 0$ , ..., $v n$ ) dado por

(t_{0},\ldots,t_{n})\mapsto \sum _{i=0}^{n}t_{i}v_{i}

Los coeficientes $t i$ se denominan coordenadas baricéntricas de un punto en el $n$ -símplex. Este simplex general se denomina a menudo $n$ -símplex afín , para enfatizar que el mapa canónico es una transformación afín . A veces también se le llama $n$ -símplex afín orientado para enfatizar que el mapa canónico puede preservar o invertir la orientación.

De manera más general, existe un mapa canónico del estándar -simplex (con $n$ vértices) a cualquier politopo con $n$ vértices, dado por la misma ecuación (modificando la indexación): $(n-1)$

(t_{1},\ldots ,t_{n})\mapsto \sum _{i=1}^{n}t_{i}v_{i}

Éstas se conocen como coordenadas baricéntricas generalizadas y expresan cada politopo como la imagen de un simplex: $\Delta ^{n-1}\twoheadrightarrow P.$

Una función comúnmente utilizada desde $R n$ hasta el interior del simplex estándar es la función softmax , o función exponencial normalizada; esto generaliza la función logística estándar . $(n-1)$

Ejemplos

Δ ⁰ es el punto $1$ en $R 1$ .
Δ ¹ es el segmento de línea que une $(1, 0)$ y $(0, 1)$ en $R 2$ .
Δ ² es el triángulo equilátero con vértices $(1, 0, 0)$ , $(0, 1, 0)$ y $(0, 0, 1)$ en $R 3$ .
Δ ³ es el tetraedro regular con vértices $(1, 0, 0, 0)$ , $(0, 1, 0, 0)$ , $(0, 0, 1, 0)$ y $(0, 0, 0, 1)$ en $R 4$ .
Δ ^{4 son las}5 celdas regulares con vértices $(1, 0, 0, 0, 0)$ , $(0, 1, 0, 0, 0)$ , $(0, 0, 1, 0, 0)$ , $(0, 0). , 0, 1, 0)$ y $(0, 0, 0, 0, 1)$ en $R 5$ .

Coordenadas crecientes

Un sistema de coordenadas alternativo está dado tomando la suma indefinida :

{\begin{aligned}s_{0}&=0\\s_{1}&=s_{0}+t_{0}=t_{0}\\s_{2}&=s_{1} +t_{1}=t_{0}+t_{1}\\s_{3}&=s_{2}+t_{2}=t_{0}+t_{1}+t_{2}\\& \;\;\vdots \\s_{n}&=s_{n-1}+t_{n-1}=t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n-1}\\s_ {n+1}&=s_{n}+t_{n}=t_{0}+t_{1}+\cdots +t_{n}=1\end{aligned}}

Esto produce la presentación alternativa por orden, es decir, como $n$ -tuplas no decrecientes entre 0 y 1:

\Delta _{*}^{n}=\left\{(s_{1},\ldots ,s_{n})\in \mathbf {R} ^{n}\mid 0=s_{0 }\leq s_{1}\leq s_{2}\leq \dots \leq s_{n}\leq s_{n+1}=1\right\}.

Geométricamente, este es un subconjunto $n$ -dimensional de (dimensión máxima, codimensión 0) en lugar de (codimensión 1). Las facetas, que en el simplex estándar corresponden a una coordenada que desaparece, aquí corresponden a coordenadas sucesivas que son iguales, mientras que el interior corresponde a que las desigualdades se vuelven estrictas (secuencias crecientes). $\mathbf {R} ^{n}$ $\mathbf {R} ^{n+1}$ $t_{i}=0,$ $s_{i}=s_{i+1},$

Una distinción clave entre estas presentaciones es el comportamiento bajo coordenadas de permutación: el simplex estándar se estabiliza mediante coordenadas de permutación, mientras que los elementos de permutación del "símplex ordenado" no lo dejan invariante, ya que permutar una secuencia ordenada generalmente la vuelve desordenada. De hecho, el simplex ordenado es un dominio fundamental (cerrado) para la acción del grupo simétrico en el $n$ -cubo, lo que significa que la órbita del simplex ordenado bajo el $n$ ! Los elementos del grupo simétrico dividen el $n$ -cubo en símplices en su mayoría disjuntos (disjuntos excepto por los límites), lo que muestra que este simplex tiene volumen $1/$ $n$ $.$ . Alternativamente, el volumen se puede calcular mediante una integral iterada, cuyos integrandos sucesivos son 1 $,$ $x$ , $x$ $2/2$ , $x$ $3/3$ $.$ , ..., $x$ $n$ $/$ $n$ $!$ . $n!$

Una propiedad adicional de esta presentación es que usa el orden pero no la suma y, por lo tanto, puede definirse en cualquier dimensión sobre cualquier conjunto ordenado y, por ejemplo, puede usarse para definir un simplex de dimensión infinita sin problemas de convergencia de sumas.

Proyección sobre el simplex estándar.

Especialmente en aplicaciones numéricas de la teoría de la probabilidad es de interés una proyección sobre el simplex estándar. Dado con entradas posiblemente negativas, el punto más cercano en el simplex tiene coordenadas $(p_{i})_{i}$ $\left(t_{i}\right)_{i}$

t_{i}=\max\{p_{i}+\Delta \,,0\},

donde se elige tal que $\Delta$ ${\textstyle \sum _{i}\max\{p_{i}+\Delta \,,0\}=1.}$

$\Delta$ se puede calcular fácilmente ordenando $p i$ . ^[8] El enfoque de clasificación requiere complejidad, que se puede mejorar a complejidad $O ($ $n$ $) mediante algoritmos$ de búsqueda de mediana . ^[9] Proyectar sobre el simplex es computacionalmente similar a proyectar sobre la pelota. $O(n\log n)$ $\ell _ {1}$

Esquina del cubo

Finalmente, una variante simple es reemplazar "sumando 1" por "sumando como máximo 1"; esto aumenta la dimensión en 1, por lo que para simplificar la notación, la indexación cambia:

\Delta _{c}^{n}=\left\{(t_{1},\ldots ,t_{n})\in \mathbf {R} ^{n}~{\Bigg |}~ \sum _{i=1}^{n}t_{i}\leq 1{\text{ y }}t_{i}\geq 0{\text{ para todos }}i\right\}.

Esto produce un $n$ -símplex como esquina del $n$ -cubo, y es un simplex ortogonal estándar. Este es el simplex utilizado en el método simplex , que se basa en el origen y modela localmente un vértice en un politopo con $n$ facetas.

Coordenadas cartesianas para un simplex regular de n dimensiones en R n

Una forma de escribir un $n$ -símplejo regular en $R n$ es elegir dos puntos para que sean los dos primeros vértices, elegir un tercer punto para formar un triángulo equilátero, elegir un cuarto punto para formar un tetraedro regular, y así sucesivamente. Cada paso requiere ecuaciones satisfactorias que aseguren que cada vértice recién elegido, junto con los vértices elegidos previamente, forme un simplex regular. Hay varios conjuntos de ecuaciones que se pueden escribir y utilizar para este propósito. Estos incluyen la igualdad de todas las distancias entre vértices; la igualdad de todas las distancias desde los vértices al centro del simplex; el hecho de que el ángulo subtendido a través del nuevo vértice por dos vértices cualesquiera elegidos previamente es ; y el hecho de que el ángulo subtendido por el centro del simplex por dos vértices cualesquiera es . $\pi /3$ $\arccos(-1/n)$

También es posible escribir directamente un $n$ -símplex regular particular en $R n$ que luego se puede traducir, rotar y escalar según se desee. Una forma de hacer esto es la siguiente. Denota los vectores base de $R n$ por $e 1$ a $e n$ . Comience con el estándar $(n - 1)$ -simplex, que es la capa convexa de los vectores base. Al agregar un vértice adicional, estos se convierten en una cara de un $n$ -símplex regular. El vértice adicional debe estar en la línea perpendicular al baricentro del simplex estándar, por lo que tiene la forma $(α / n, ..., α / n)$ para algún número real $α$ . Dado que la distancia al cuadrado entre dos vectores base es 2, para que el vértice adicional forme un $n$ -símplex regular, la distancia al cuadrado entre él y cualquiera de los vectores base también debe ser 2. Esto produce una ecuación cuadrática para $α$ . Resolver esta ecuación muestra que hay dos opciones para el vértice adicional:

{\frac {1}{n}}\left(1\pm {\sqrt {n+1}}\right)\cdot (1,\dots ,1).

Cualquiera de estos, junto con los vectores de base estándar, produce un $n$ -símplex regular.

El $n$ -simplex regular anterior no está centrado en el origen. Se puede trasladar al origen restando la media de sus vértices. Al cambiar la escala, se le puede dar una longitud lateral unitaria. Esto da como resultado el simplex cuyos vértices son:

{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{i}-{\frac {1}{n{\sqrt {2}}}}{\bigg (}1\pm {\frac {1}{\sqrt {n+1}}}{\bigg )}\cdot (1,\dots ,1),

Para y $1\leq i\leq n$

\pm {\frac {1}{\sqrt {2(n+1)}}}\cdot (1,\dots ,1).

Tenga en cuenta que aquí se describen dos conjuntos de vértices. Se utiliza un conjunto en cada cálculo. El otro conjunto utiliza en cada cálculo. $+$ $-$

Este simplex está inscrito en una hiperesfera de radio . ${\sqrt {n/(2(n+1))}}$

Un cambio de escala diferente produce un simplex que se inscribe en una hiperesfera unitaria. Cuando se hace esto, sus vértices son

{\sqrt {1+n^{-1}}}\cdot \mathbf {e} _{i}-n^{-3/2}({\sqrt {n+1}}\pm 1)\cdot (1,\dots ,1),

dónde y $1\leq i\leq n$

\pm n^{-1/2}\cdot (1,\dots ,1).

La longitud del lado de este simplex es . ${\textstyle {\sqrt {2(n+1)/n}}}$

Una forma altamente simétrica de construir un $n$ -simplex regular es utilizar una representación del grupo cíclico $Z n +1$ mediante matrices ortogonales . Esta es una matriz ortogonal $Q$ $n \times n$ tal que $Q$ $n$ $+1$ $=$ $I$ es la matriz identidad , pero no lo es una potencia inferior de $Q.$ La aplicación de potencias de esta matriz a un vector $v$ apropiado producirá los vértices de un $n$ -símplex regular. Para llevar a cabo esto, primero observe que para cualquier matriz ortogonal $Q$ , existe la posibilidad de elegir una base en la que $Q$ es una matriz diagonal de bloques.

Q=\operatorname {diag} (Q_{1},Q_{2},\dots ,Q_{k}),

donde cada $Q i$ es ortogonal y $2 \times 2$ o $1 \times 1$ . Para que $Q$ tenga orden $n + 1$ , todas estas matrices deben tener orden que divida $n + 1$ . Por lo tanto, cada $Q i$ es una matriz $de 1 \times 1$ cuya única entrada es $1$ o, si $n$ es impar , $-1$ ; o es una matriz $de 2 \times 2 de la forma$

{\begin{pmatrix}\cos {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}&-\sin {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}\\\sin {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}&\cos {\frac {2\pi \omega _{i}}{n+1}}\end{pmatrix}},

donde cada $ω i$ es un número entero entre cero y $n$ inclusive. Una condición suficiente para que la órbita de un punto sea un simplex regular es que las matrices $Q i$ formen una base para las representaciones reales irreducibles no triviales de $Z n +1$ , y el vector que se está rotando no esté estabilizado por ninguna de ellas.

En términos prácticos, para $n$ incluso esto significa que toda matriz $Q i$ es $2 \times 2$ , existe igualdad de conjuntos

\{\omega _{1},n+1-\omega _{1},\dots ,\omega _{n/2},n+1-\omega _{n/2}\}=\{1,\dots ,n\},

y, para cada $Q i$ , las entradas de $v$ sobre las cuales actúa $Q i$ no son ambas cero. Por ejemplo, cuando $n = 4$ , una matriz posible es

{\begin{pmatrix}\cos(2\pi /5)&-\sin(2\pi /5)&0&0\\\sin(2\pi /5)&\cos(2\pi /5)&0&0\\0&0&\cos(4\pi /5)&-\sin(4\pi /5)\\0&0&\sin(4\pi /5)&\cos(4\pi /5)\end{pmatrix}}.

Aplicando esto al vector $(1, 0, 1, 0)$ se obtiene el simplex cuyos vértices son

{\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(2\pi /5)\\\sin(2\pi /5)\\\cos(4\pi /5)\\\sin(4\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(4\pi /5)\\\sin(4\pi /5)\\\cos(8\pi /5)\\\sin(8\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(6\pi /5)\\\sin(6\pi /5)\\\cos(2\pi /5)\\\sin(2\pi /5)\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}\cos(8\pi /5)\\\sin(8\pi /5)\\\cos(6\pi /5)\\\sin(6\pi /5)\end{pmatrix}},

cada uno de los cuales tiene una distancia √5 de los demás. Cuando $n$ es impar, la condición significa que exactamente uno de los bloques diagonales es $1 \times 1$ , igual a $-1$ , y actúa sobre una entrada distinta de cero de $v$ ; mientras que los bloques diagonales restantes, digamos $Q 1, ..., Q (n - 1) / 2$ , son $2 \times 2$ , existe una igualdad de conjuntos

\left\{\omega _{1},-\omega _{1},\dots ,\omega _{(n-1)/2},-\omega _{n-1)/2}\right\}=\left\{1,\dots ,(n-1)/2,(n+3)/2,\dots ,n\right\},

y cada bloque diagonal actúa sobre un par de entradas de $v$ que no son ambas cero. Entonces, por ejemplo, cuando $n = 3$ , la matriz puede ser

{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&-1\\\end{pmatrix}}.

Para el vector $(1, 0, 1/ \sqrt 2)$ , el simplex resultante tiene vértices

{\begin{pmatrix}1\\0\\1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\-1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\1/\surd 2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-1\\-1/\surd 2\end{pmatrix}},

cada uno de los cuales tiene una distancia 2 de los demás.

Propiedades geométricas

Volumen

El volumen de un $n$ -simplex en un espacio $n$ -dimensional con vértices $(v 0, ..., v n)$ es

\mathrm {Volume} ={\frac {1}{n!}}\left|\det {\begin{pmatrix}v_{1}-v_{0}&&v_{2}-v_{0}&&\cdots &&v_{n}-v_{0}\end{pmatrix}}\right|

donde cada columna del determinante $n \times n$ es un vector que apunta desde el vértice $v$ $0$ a otro vértice $v$ $k$ . ^[10] Esta fórmula es particularmente útil cuando se trata del origen. $v_{0}$

La expresion

\mathrm {Volume} ={\frac {1}{n!}}\det \left[{\begin{pmatrix}v_{1}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\\v_{2}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\\\vdots \\v_{n}^{\text{T}}-v_{0}^{\text{T}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}v_{1}-v_{0}&v_{2}-v_{0}&\cdots &v_{n}-v_{0}\end{pmatrix}}\right]^{1/2}

emplea un determinante de Gram y funciona incluso cuando los vértices del $n$ -simplex están en un espacio euclidiano con más de $n$ dimensiones, por ejemplo, un triángulo en . $\mathbf {R} ^{3}$

Una forma más simétrica de calcular el volumen de un $n$ -simplex es $\mathbf {R} ^{n}$

\mathrm {Volume} ={1 \over n!}\left|\det {\begin{pmatrix}v_{0}&v_{1}&\cdots &v_{n}\\1&1&\cdots &1\end{pmatrix}}\right|.

Otra forma común de calcular el volumen del simplex es mediante el determinante de Cayley-Menger , que funciona incluso cuando los vértices del n-simplex están en un espacio euclidiano con más de n dimensiones. ^[11]

Sin el $1/ n!$ es la fórmula para el volumen de un $n$ - paralelótopo . Esto puede entenderse de la siguiente manera: Supongamos que $P$ es un $n$ -paralelotopo construido sobre la base de . Dada una permutación de , llame a una lista de vértices una ruta $n$ si $(v_{0},e_{1},\ldots ,e_{n})$ $\mathbf {R} ^{n}$ $\sigma$ $\{1,2,\ldots ,n\}$ $v_{0},\ v_{1},\ldots ,v_{n}$

v_{1}=v_{0}+e_{\sigma (1)},\ v_{2}=v_{1}+e_{\sigma (2)},\ldots ,v_{n}=v_{n-1}+e_{\sigma (n)}

(por lo que hay $n!$ $n$ -caminos y no depende de la permutación). Se sostienen las siguientes afirmaciones: $v_{n}$

Si $P$ es la unidad $n$ -hipercubo, entonces la unión de los $n$ -simplex formados por el casco convexo de cada $n$ -camino es $P$ , y estos símplex son congruentes y no se superponen por pares. ^[12] En particular, el volumen de dicho simplex es

{\frac {\operatorname {Vol} (P)}{n!}}={\frac {1}{n!}}.

Si $P$ es un paralelotopo general, se mantienen las mismas afirmaciones excepto que ya no es cierto, en dimensión > 2, que los símplex deben ser congruentes por pares; sin embargo sus volúmenes permanecen iguales, porque el $n$ -paralelotopo es la imagen de la unidad $n$ -hipercubo por el isomorfismo lineal que remite la base canónica de a . Como anteriormente, esto implica que el volumen de un simplex procedente de un camino $n$ es: $\mathbf {R} ^{n}$ $e_{1},\ldots ,e_{n}$

{\frac {\operatorname {Vol} (P)}{n!}}={\frac {\det(e_{1},\ldots ,e_{n})}{n!}}.

Por el contrario, dado un $n$ -símplejo de , se puede suponer que los vectores forman una base de . Considerando el paralelotopo construido a partir de y , se ve que la fórmula anterior es válida para todo símplex. $(v_{0},\ v_{1},\ v_{2},\ldots v_{n})$ $\mathbf {R} ^{n}$ $e_{1}=v_{1}-v_{0},\ e_{2}=v_{2}-v_{1},\ldots e_{n}=v_{n}-v_{n-1}$ $\mathbf {R} ^{n}$ $v_{0}$ $e_{1},\ldots ,e_{n}$

Finalmente, la fórmula al comienzo de esta sección se obtiene observando que

\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},\ldots ,v_{n}-v_{0})=\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{1},\ldots ,v_{n}-v_{n-1}).

De esta fórmula se deduce inmediatamente que el volumen bajo un estándar $n$ -símplex (es decir, entre el origen y el símplex en $R n +1$ ) es

{1 \over (n+1)!}

El volumen de un $n$ -símplex regular con longitud de lado unitaria es

{\frac {\sqrt {n+1}}{n!{\sqrt {2^{n}}}}}

como se puede ver multiplicando la fórmula anterior por $x n +1$ , para obtener el volumen bajo el $n$ -simplex en función de su distancia de vértice $x$ al origen, diferenciando con respecto a $x$ , en (donde el lado $n$ -simplex la longitud es 1), y normalizando por la longitud del incremento, a lo largo del vector normal. $x=1/{\sqrt {2}}$ $dx/{\sqrt {n+1}}$ $(dx/(n+1),\ldots ,dx/(n+1))$

Ángulos diédricos del n -símplex regular

Cualesquiera dos caras $(n - 1) -dimensionales de un simplex regular$ $n$ -dimensional son en sí mismas simples simples $(n - 1)$ -dimensionales regulares y tienen el mismo ángulo diédrico de $cos -1 (1/ n)$ . ^[13]^[14]

Esto se puede ver observando que el centro del simplex estándar es y los centros de sus caras son permutaciones de coordenadas de . Entonces, por simetría, el vector que apunta desde a es perpendicular a las caras. Entonces los vectores normales a las caras son permutaciones de , a partir de las cuales se calculan los ángulos diédricos. ${\textstyle \left({\frac {1}{n+1}},\dots ,{\frac {1}{n+1}}\right)}$ ${\textstyle \left(0,{\frac {1}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right)}$ ${\textstyle \left({\frac {1}{n+1}},\dots ,{\frac {1}{n+1}}\right)}$ ${\textstyle \left(0,{\frac {1}{n}},\dots ,{\frac {1}{n}}\right)}$ $(-n,1,\dots ,1)$

Simpliciza con una "esquina ortogonal"

Una "esquina ortogonal" significa aquí que hay un vértice en el que todos los bordes adyacentes son ortogonales por pares. De ello se deduce inmediatamente que todas las caras adyacentes son ortogonales por pares. Estos simples son generalizaciones de triángulos rectángulos y para ellos existe una versión $n$ -dimensional del teorema de Pitágoras :

La suma de los volúmenes dimensionales al cuadrado $(n - 1 )$ de las facetas adyacentes a la esquina ortogonal es igual al volumen dimensional al cuadrado $(n - 1 )$ de la faceta opuesta a la esquina ortogonal.

\sum _{k=1}^{n}|A_{k}|^{2}=|A_{0}|^{2}

donde las facetas son ortogonales entre sí por pares pero no ortogonales a , que es la faceta opuesta a la esquina ortogonal. ^[15] $A_{1}\ldots A_{n}$ $A_{0}$

Para un 2-símplex, el teorema es el teorema de Pitágoras para triángulos con un ángulo recto y para un 3-símplex es el teorema de De Gua para un tetraedro con una esquina ortogonal.

Relación con el hipercubo ( n + 1)

El diagrama de Hasse de la red de caras de un $n$ -simplex es isomorfo a la gráfica de los bordes del hipercubo $(n + 1 )$ , y los vértices del hipercubo se asignan a cada uno de los elementos del $n$ -simplex, incluido el simplex completo y el politopo nulo como los puntos extremos de la red (asignados a dos vértices opuestos en el hipercubo). Este hecho se puede utilizar para enumerar eficientemente la red de caras del simplex, ya que los algoritmos de enumeración de redes de caras más generales son más costosos computacionalmente.

El $n$ -simplex es también la figura de vértice del $(n + 1 )$ -hipercubo. También es la faceta del $(n +1$ ) -ortoplex .

Topología

Topológicamente , un $n$ -simplex es equivalente a un $n$ -bola . Cada $n$ -simplex es una variedad $n$ -dimensional con esquinas .

Probabilidad

En teoría de la probabilidad, los puntos del estándar $n$ -simplex en $(n + 1)$ -espacio forman el espacio de posibles distribuciones de probabilidad en un conjunto finito que consta de $n + 1$ resultados posibles. La correspondencia es la siguiente: Para cada distribución descrita como una tupla ordenada $(n + 1)$ de probabilidades cuya suma es (necesariamente) 1, asociamos el punto del simplex cuyas coordenadas baricéntricas son precisamente esas probabilidades. Es decir, al $k$ -ésimo vértice del simplex se le asigna la $k$ -ésima probabilidad de la $(n + 1)$ -tupla como coeficiente baricéntrico. Esta correspondencia es un homeomorfismo afín.

Compuestos

Dado que todos los simples son autoduales, pueden formar una serie de compuestos;

Dos triángulos forman un hexagrama {6/2}.
Dos tetraedros forman un compuesto de dos tetraedros o stella octangula .
Dos células de 5 forman un compuesto de dos células de 5 en cuatro dimensiones.

Topología algebraica

En topología algebraica , los simples se utilizan como bloques de construcción para construir una clase interesante de espacios topológicos llamados complejos simpliciales . Estos espacios se construyen a partir de simples pegados de forma combinatoria . Los complejos simpliciales se utilizan para definir un cierto tipo de homología llamada homología simplicial .

Un conjunto finito de $k$ -simplex incrustados en un subconjunto abierto de $R n$ se denomina cadena $k$ afín . Los símplex de una cadena no tienen por qué ser únicos; pueden ocurrir con multiplicidad . En lugar de utilizar la notación de conjuntos estándar para denotar una cadena afín, la práctica estándar es utilizar signos más para separar cada miembro del conjunto. Si algunos de los símplex tienen la orientación opuesta , van precedidos de un signo menos. Si algunos de los símplex aparecen en el conjunto más de una vez, tienen como prefijo un recuento de números enteros. Por tanto, una cadena afín toma la forma simbólica de una suma con coeficientes enteros.

Tenga en cuenta que cada faceta de un $n$ -simplex es un afín $(n - 1)$ -simplex y, por tanto, el límite de un $n$ -simplex es una cadena afín $(n - 1 )$ . Por lo tanto, si denotamos un simplex afín orientado positivamente como

\sigma =[v_{0},v_{1},v_{2},\ldots ,v_{n}]

denotando los vértices, entonces el límite de $σ$ es la cadena $v_{j}$ $\partial \sigma$

\partial \sigma =\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}[v_{0},\ldots ,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n}].

De esta expresión y de la linealidad del operador de frontera se deduce que la frontera de un simplex es cero:

\partial ^{2}\sigma =\partial \left(\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}[v_{0},\ldots ,v_{j-1},v_{j+1},\ldots ,v_{n}]\right)=0.

Asimismo, el límite del límite de una cadena es cero: . $\partial ^{2}\rho =0$

De manera más general, un simplex (y una cadena) se pueden incrustar en una variedad mediante un mapa suave y diferenciable . En este caso, tanto la convención de suma para denotar el conjunto como la operación de límites conmutan con la incrustación . Eso es, $f:\mathbf {R} ^{n}\to M$

f\left(\sum \nolimits _{i}a_{i}\sigma _{i}\right)=\sum \nolimits _{i}a_{i}f(\sigma _{i})

donde son los números enteros que denotan orientación y multiplicidad. Para el operador de frontera , se tiene: $a_{i}$ $\partial$

\partial f(\rho )=f(\partial \rho )

donde $ρ$ es una cadena. La operación de límite conmuta con el mapeo porque, al final, la cadena se define como un conjunto y poco más, y la operación de conjunto siempre conmuta con la operación de mapa (por definición de mapa).

Un mapa continuo de un espacio topológico $X$ se denomina con frecuencia $n$ -símplejo singular . (Un mapa generalmente se llama "singular" si no tiene alguna propiedad deseable como la continuidad y, en este caso, el término pretende reflejar el hecho de que el mapa continuo no necesita ser una incrustación) ^. $f:\sigma \to X$

geometría algebraica

Dado que la geometría algebraica clásica permite hablar de ecuaciones polinomiales pero no de desigualdades, el estándar algebraico n-simplex se define comúnmente como el subconjunto del espacio afín $(n + 1)$ -dimensional, donde todas las coordenadas suman 1 (omitiendo así el parte de desigualdad). La descripción algebraica de este conjunto es

\Delta ^{n}:=\left\{x\in \mathbb {A} ^{n+1}~{\Bigg |}~\sum _{i=1}^{n+1}x_{i}=1\right\},

esquema

\Delta _{n}(R)=\operatorname {Spec} (R[\Delta ^{n}])

R[\Delta ^{n}]:=R[x_{1},\ldots ,x_{n+1}]\left/\left(1-\sum x_{i}\right)\right.

n

anillo

R

Al utilizar las mismas definiciones que para el $n$ -simplice clásico, los $n$ -simplices para diferentes dimensiones $n$ se ensamblan en un objeto simplicial , mientras que los anillos se ensamblan en un objeto cosimplicial (en la categoría de esquemas o anillos, ya que la cara y la degeneración todos los mapas son polinomiales). $R[\Delta ^{n}]$ $R[\Delta ^{\bullet }]$

$Los n$ -símplices algebraicos se utilizan en la teoría K superior y en la definición de grupos de Chow superiores .

Aplicaciones

En estadística , los simples son espacios muestrales de datos compositivos y también se utilizan para trazar cantidades que suman 1, como proporciones de subpoblaciones, como en un gráfico ternario .
En teoría de la probabilidad , se suele utilizar un espacio simplex para representar el espacio de distribuciones de probabilidad. La distribución de Dirichlet , por ejemplo, se define en simplex.
En estadística industrial , los simples surgen en la formulación de problemas y en la solución algorítmica. En el diseño del pan, el productor debe combinar levadura, harina, agua, azúcar, etc. En tales mezclas , sólo importan las proporciones relativas de los ingredientes: para una mezcla de pan óptima, si se duplica la harina, entonces se debe duplicar la levadura. Estos problemas de mezcla a menudo se formulan con restricciones normalizadas, de modo que la suma de los componentes no negativos es uno, en cuyo caso la región factible forma un simplex. La calidad de las mezclas de pan se puede estimar utilizando la metodología de superficie de respuesta y luego se puede calcular un máximo local utilizando un método de programación no lineal , como la programación cuadrática secuencial . ^[17]
En la investigación de operaciones , los problemas de programación lineal se pueden resolver mediante el algoritmo simplex de George Dantzig .
En teoría de juegos , las estrategias se pueden representar como puntos dentro de un simplex. Esta representación simplifica el análisis de estrategias mixtas.
En diseño geométrico y gráficos por computadora , muchos métodos primero realizan triangulaciones simples del dominio y luego ajustan polinomios de interpolación a cada símplex. ^[18]
En química , los hidruros de la mayoría de los elementos en el bloque p pueden parecerse a un simplex si se conecta cada átomo. El neón no reacciona con el hidrógeno y, como tal, es un punto , el flúor se une con un átomo de hidrógeno y forma un segmento de línea, el oxígeno se une con dos átomos de hidrógeno de forma curvada , asemejándose a un triángulo, el nitrógeno reacciona para formar un tetraedro y el carbono forma un estructura que se asemeja a un diagrama de Schlegel de 5 celdas. Esta tendencia continúa para los análogos más pesados de cada elemento, así como si el átomo de hidrógeno se reemplaza por un átomo de halógeno .
En algunos enfoques de la gravedad cuántica , como el cálculo de Regge y las triangulaciones dinámicas causales , los simples se utilizan como bloques de construcción de discretizaciones del espacio-tiempo; es decir, construir variedades simpliciales .

Ver también

Notas

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^ Se puede encontrar una derivación de una fórmula muy similar en Stein, P. (1966). "Una nota sobre el volumen de un simplex". Mensual Matemático Estadounidense . 73 (3): 299–301. doi :10.2307/2315353. JSTOR 2315353.
^ Colins, Karen D. "Determinante de Cayley-Menger". MundoMatemático .
^ Cada $n$ -camino correspondiente a una permutación es la imagen del $n$ -camino por la isometría afín que envía a , y cuya parte lineal coincide con para todo $i$ . por tanto, cada dos $n$ caminos son isométricos, al igual que sus cascos convexos; esto explica la congruencia de los simplex. Para mostrar las otras afirmaciones, basta señalar que el interior del símplex determinado por el $n$ -camino es el conjunto de puntos , con y Por lo tanto, las componentes de estos puntos con respecto a cada base permutada correspondiente están estrictamente ordenadas en orden decreciente . Eso explica por qué los símplex no se superponen. También se sigue el hecho de que la unión de los simplex es la unidad completa $n$ -hipercubo, reemplazando las desigualdades estrictas anteriores por " ". Los mismos argumentos también son válidos para un paralelotopo general, excepto la isometría entre los símplex. $\scriptstyle \sigma$ $\scriptstyle v_{0},\ v_{0}+e_{1},\ v_{0}+e_{1}+e_{2},\ldots v_{0}+e_{1}+\cdots +e_{n}$ $\scriptstyle v_{0}$ $\scriptstyle v_{0}$ $\scriptstyle e_{i}$ $\scriptstyle e_{\sigma (i)}$ $\scriptstyle v_{0},\ v_{0}+e_{\sigma (1)},\ v_{0}+e_{\sigma (1)}+e_{\sigma (2)}\ldots v_{0}+e_{\sigma (1)}+\cdots +e_{\sigma (n)}$ $\scriptstyle v_{0}+(x_{1}+\cdots +x_{n})e_{\sigma (1)}+\cdots +(x_{n-1}+x_{n})e_{\sigma (n-1)}+x_{n}e_{\sigma (n)}$ $\scriptstyle 0<x_{i}<1$ $\scriptstyle x_{1}+\cdots +x_{n}<1.$ $\scriptstyle \leq$
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Referencias

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Devroye, Luc (1986). Generación de variables aleatorias no uniformes. Saltador. ISBN 0-387-96305-7. Archivado desde el original el 5 de mayo de 2009.
Coxeter, HSM (1973). Politopos regulares (3ª ed.). Dover. ISBN 0-486-61480-8.
- págs. 120 y 121, §7.2. ver ilustración 7-2 A
- pag. 296, Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en $n$ dimensiones ( $n \geq 5$ )
Weisstein, Eric W. "Simplex". MundoMatemático .
Boyd, Esteban ; Vandenberghe, Lieven (2004). Optimizacion convexa. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-1-107-39400-1.Como PDF