Descomposición de Helmholtz

Ciertos campos vectoriales son la suma de un campo vectorial irrotacional y un campo vectorial solenoidal.

En física y matemáticas , el teorema de descomposición de Helmholtz o teorema fundamental del cálculo vectorial ^{[1] [2] [3] [4] [5] [6] [7]} establece que ciertos campos vectoriales diferenciables pueden resolverse en la suma de un campo vectorial irrotacional ( libre de rizos ) y un campo vectorial solenoidal ( libre de divergencia ). En física , a menudo solo se analiza la descomposición de campos vectoriales suficientemente suaves y de rápida descomposición en tres dimensiones. Recibe su nombre en honor a Hermann von Helmholtz .

Definición

Para un campo vectorial definido en un dominio , una descomposición de Helmholtz es un par de campos vectoriales y tales que: Aquí, es un potencial escalar , es su gradiente y es la divergencia del campo vectorial . El campo vectorial irrotacional se denomina campo de gradiente y se denomina campo solenoidal o campo de rotación . Esta descomposición no existe para todos los campos vectoriales y no es única . ^[8] ${\displaystyle \mathbf {F} \in C^{1}(V,\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbf {G} \in C^{1}(V,\mathbb {R} ^{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {R} \in C^{1}(V,\mathbb {R} ^{n})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=\mathbf {G} (\mathbf {r} )+\mathbf {R} (\mathbf {r} ),\\\mathbf {G} (\mathbf {r} )&=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ),\\\nabla \cdot \mathbf {R} (\mathbf {r} )&=0.\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \Phi \in C^{2}(V,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \nabla \Phi }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ ${\displaystyle \mathbf {R} }$

Historia

La descomposición de Helmholtz en tres dimensiones fue descrita por primera vez en 1849 ^[9] por George Gabriel Stokes para una teoría de la difracción . Hermann von Helmholtz publicó su artículo sobre algunas ecuaciones básicas de la hidrodinámica en 1858, ^{[10] [11]} que fue parte de su investigación sobre los teoremas de Helmholtz que describen el movimiento del fluido en la proximidad de las líneas de vórtice. ^[11] Su derivación requirió que los campos vectoriales decaigan lo suficientemente rápido en el infinito. Más tarde, esta condición se pudo relajar y la descomposición de Helmholtz se pudo extender a dimensiones superiores. ^{[8] [12] [13]} Para las variedades de Riemann , se derivó la descomposición de Helmholtz-Hodge utilizando geometría diferencial y cálculo tensorial . ^{[8] [11] [14] [15]}

La descomposición se ha convertido en una herramienta importante para muchos problemas en física teórica , ^{[11] [14]} pero también ha encontrado aplicaciones en animación , visión por computadora y robótica . ^[15]

Espacio tridimensional

Muchos libros de texto de física restringen la descomposición de Helmholtz al espacio tridimensional y limitan su aplicación a campos vectoriales que decaen con la suficiente rapidez en el infinito o a funciones de protuberancia definidas en un dominio acotado . Entonces, se puede definir un potencial vectorial , de modo que el campo de rotación esté dado por , utilizando el rotacional de un campo vectorial. ^[16] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbf {R} =\nabla \times \mathbf {A} }$

Sea un campo vectorial en un dominio acotado , que es dos veces continuamente diferenciable en su interior , y sea la superficie que encierra el dominio . Entonces se puede descomponer en un componente sin rizos y un componente sin divergencia de la siguiente manera: ^[17] ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

$${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A} ,}$$dónde $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} S'\\[8pt]\mathbf {A} (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} S'\end{aligned}}}$$

y es el operador nabla con respecto a , no . ${\displaystyle \nabla '}$ ${\displaystyle \mathbf {r'} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$

Si y es por lo tanto ilimitado, y se desvanece más rápido que como , entonces se tiene ^[18] ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle 1/r}$ ${\displaystyle r\to \infty }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'\\[8pt]\mathbf {A} (\mathbf {r} )&={\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {R} ^{3}}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V'\end{aligned}}}$$Esto es válido en particular si es dos veces continuamente diferenciable en y de soporte acotado. ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Derivación

Prueba

Supongamos que tenemos una función vectorial de la que conocemos el rotacional, , y la divergencia, , en el dominio y los campos en el borde. Escribiendo la función usando la función delta en la forma donde es el operador de Laplace, tenemos ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ $${\displaystyle \delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,,}$$ ${\displaystyle \nabla ^{2}:=\nabla \cdot \nabla }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=\int _{V}\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)\delta ^{3}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'\\&=\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\left(-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\right)\mathrm {d} V'\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\nabla ^{2}\int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\nabla \left(\nabla \cdot \int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\nabla \times \int _{V}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)+\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\\&=-{\frac {1}{4\pi }}\left[-\nabla \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\cdot \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)-\nabla \times \left(\int _{V}\mathbf {F} (\mathbf {r} ')\times \nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\right]\end{aligned}}}$$

donde hemos utilizado la definición del vector Laplaciano : $${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {a} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {a} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {a} )\ ,}$$

diferenciación/integración con respecto a por y en la última línea, linealidad de los argumentos de la función: ${\displaystyle \mathbf {r} '}$ ${\displaystyle \nabla '/\mathrm {d} V',}$ $${\displaystyle \nabla {\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}=-\nabla '{\frac {1}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\ .}$$

Luego, utilizando las identidades vectoriales

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \nabla \psi &=-\psi (\nabla \cdot \mathbf {a} )+\nabla \cdot (\psi \mathbf {a} )\\\mathbf {a} \times \nabla \psi &=\psi (\nabla \times \mathbf {a} )-\nabla \times (\psi \mathbf {a} )\end{aligned}}}$$

Nosotros conseguimos $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )=-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}&-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+\int _{V}\nabla '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right)\\&-\nabla \times \left(\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-\int _{V}\nabla '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'\right){\bigg ]}.\end{aligned}}}$$

Gracias al teorema de divergencia la ecuación se puede reescribir como

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=-{\frac {1}{4\pi }}{\bigg [}-\nabla \left(-\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'+\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right)\\&\qquad \qquad -\nabla \times \left(\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right){\bigg ]}\\&=-\nabla \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\\&\quad +\nabla \times \left[{\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'\right]\end{aligned}}}$$

con superficie exterior normal . ${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} '}$

Definiendo

$${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\cdot {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'}$$ $${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )\equiv {\frac {1}{4\pi }}\int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'-{\frac {1}{4\pi }}\oint _{S}\mathbf {\hat {n}} '\times {\frac {\mathbf {F} \left(\mathbf {r} '\right)}{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} S'}$$

Finalmente lo logramos $${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A} .}$$

Espacio de soluciones

Si es una descomposición de Helmholtz de , entonces es otra descomposición si, y sólo si, ${\displaystyle (\Phi _{1},{\mathbf {A} _{1}})}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle (\Phi _{2},{\mathbf {A} _{2}})}$

${\displaystyle \Phi _{1}-\Phi _{2}=\lambda \quad }$y ${\displaystyle \quad \mathbf {A} _{1}-\mathbf {A} _{2}={\mathbf {A} }_{\lambda }+\nabla \varphi ,}$

dónde

• ${\displaystyle \lambda }$es un campo escalar armónico ,
• ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\lambda }}$es un campo vectorial que cumple ${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {A} }_{\lambda }=\nabla \lambda ,}$
• ${\displaystyle \varphi }$es un campo escalar.

Demostración: Fije y . Según la definición de la descomposición de Helmholtz, la condición es equivalente a ${\displaystyle \lambda =\Phi _{2}-\Phi _{1}}$ ${\displaystyle {\mathbf {B} =A_{2}-A_{1}}}$

${\displaystyle -\nabla \lambda +\nabla \times \mathbf {B} =0}$.

Tomando la divergencia de cada miembro de esta ecuación se obtiene , por lo tanto es armónica. ${\displaystyle \nabla ^{2}\lambda =0}$ ${\displaystyle \lambda }$

Por el contrario, dada cualquier función armónica , es solenoidal ya que ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \nabla \lambda }$

${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \lambda )=\nabla ^{2}\lambda =0.}$

Por lo tanto, de acuerdo con la sección anterior, existe un campo vectorial tal que . ${\displaystyle {\mathbf {A} }_{\lambda }}$ ${\displaystyle \nabla \lambda =\nabla \times {\mathbf {A} }_{\lambda }}$

Si es otro campo vectorial de este tipo, entonces cumple , por lo tanto para algún campo escalar . ${\displaystyle {\mathbf {A} '}_{\lambda }}$ ${\displaystyle \mathbf {C} ={\mathbf {A} }_{\lambda }-{\mathbf {A} '}_{\lambda }}$ ${\displaystyle \nabla \times {\mathbf {C} }=0}$ ${\displaystyle C=\nabla \varphi }$ ${\displaystyle \varphi }$

Campos con divergencia y rizo prescritos

El término "teorema de Helmholtz" también puede referirse a lo siguiente. Sea C un campo vectorial solenoidal y d un campo escalar en R ³ que son suficientemente suaves y que se desvanecen más rápido que 1/ r ² en el infinito. Entonces existe un campo vectorial F tal que

$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} =d\quad {\text{ and }}\quad \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {C} ;}$$

Si además el campo vectorial F se desvanece cuando r → ∞ , entonces F es único. ^[18]

En otras palabras, un campo vectorial puede construirse con una divergencia y un rizo especificados, y si también se anula en el infinito, está especificado únicamente por su divergencia y rizo. Este teorema es de gran importancia en electrostática , ya que las ecuaciones de Maxwell para los campos eléctrico y magnético en el caso estático son exactamente de este tipo. ^[18] La prueba es mediante una construcción que generaliza la dada anteriormente: establecemos

$${\displaystyle \mathbf {F} =\nabla ({\mathcal {G}}(d))-\nabla \times ({\mathcal {G}}(\mathbf {C} )),}$$

donde representa el operador de potencial newtoniano . (Cuando actúa sobre un campo vectorial, como ∇ × F , se define que actúa sobre cada componente). ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Formulación débil

La descomposición de Helmholtz se puede generalizar reduciendo los supuestos de regularidad (la necesidad de la existencia de derivadas fuertes). Supongamos que Ω es un dominio de Lipschitz acotado y simplemente conexo . Todo campo vectorial integrable al cuadrado u ∈ ( L ² (Ω)) ³ tiene una descomposición ortogonal : ^{[19] [20] [21]}

$${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi +\nabla \times \mathbf {A} }$$

donde φ está en el espacio de Sobolev H ¹ (Ω) de funciones integrables al cuadrado en Ω cuyas derivadas parciales definidas en el sentido de la distribución son integrables al cuadrado, y A ∈ H (curl, Ω) , el espacio de Sobolev de campos vectoriales que consiste en campos vectoriales integrables al cuadrado con curl integrable al cuadrado.

Para un campo vectorial ligeramente más suave u ∈ H (curl, Ω) , se cumple una descomposición similar:

$${\displaystyle \mathbf {u} =\nabla \varphi +\mathbf {v} }$$

donde φ ∈ H ¹ (Ω), v ∈ ( H ¹ (Ω)) ^d .

Derivación de la transformada de Fourier

Nótese que en el teorema aquí enunciado, hemos impuesto la condición de que si no está definido en un dominio acotado, entonces decaerá más rápido que . Por lo tanto, se garantiza que existe la transformada de Fourier de , denotada como . Aplicamos la convención ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle 1/r}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {G} }$ $${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\iiint \mathbf {G} (\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}}$$

La transformada de Fourier de un campo escalar es un campo escalar y la transformada de Fourier de un campo vectorial es un campo vectorial de la misma dimensión.

Consideremos ahora los siguientes campos escalares y vectoriales: $${\displaystyle {\begin{aligned}G_{\Phi }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \cdot \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\|\mathbf {k} \|^{2}}}\\\mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )&=i{\frac {\mathbf {k} \times \mathbf {G} (\mathbf {k} )}{\|\mathbf {k} \|^{2}}}\\[8pt]\Phi (\mathbf {r} )&=\iiint G_{\Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\\mathbf {A} (\mathbf {r} )&=\iiint \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\end{aligned}}}$$

Por eso

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {G} (\mathbf {k} )&=-i\mathbf {k} G_{\Phi }(\mathbf {k} )+i\mathbf {k} \times \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )\\[6pt]\mathbf {F} (\mathbf {r} )&=-\iiint i\mathbf {k} G_{\Phi }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}+\iiint i\mathbf {k} \times \mathbf {G} _{\mathbf {A} }(\mathbf {k} )e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }dV_{k}\\&=-\nabla \Phi (\mathbf {r} )+\nabla \times \mathbf {A} (\mathbf {r} )\end{aligned}}}$$

Campos longitudinales y transversales

Una terminología que se utiliza a menudo en física se refiere al componente libre de rizo de un campo vectorial como el componente longitudinal y al componente libre de divergencia como el componente transversal . ^{[22] Esta terminología proviene de la siguiente construcción: Calcule la} transformada de Fourier tridimensional del campo vectorial . Luego descomponga este campo, en cada punto k , en dos componentes, uno de los cuales apunta longitudinalmente, es decir, paralelo a k , el otro de los cuales apunta en la dirección transversal, es decir, perpendicular a k . Hasta ahora, tenemos ${\displaystyle {\hat {\mathbf {F} }}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} }$

$${\displaystyle {\hat {\mathbf {F} }}(\mathbf {k} )={\hat {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )+{\hat {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )}$$ $${\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\hat {\mathbf {F} }}_{t}(\mathbf {k} )=0.}$$ $${\displaystyle \mathbf {k} \times {\hat {\mathbf {F} }}_{l}(\mathbf {k} )=\mathbf {0} .}$$

Ahora aplicamos una transformada de Fourier inversa a cada uno de estos componentes. Utilizando las propiedades de las transformadas de Fourier, obtenemos:

$${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} )+\mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} _{t}(\mathbf {r} )=0}$$ $${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} _{l}(\mathbf {r} )=\mathbf {0} }$$

Desde y , ${\displaystyle \nabla \times (\nabla \Phi )=0}$ ${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {A} )=0}$

podemos conseguir

$${\displaystyle \mathbf {F} _{t}=\nabla \times \mathbf {A} ={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int _{V}{\frac {\nabla '\times \mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}$$ $${\displaystyle \mathbf {F} _{l}=-\nabla \Phi =-{\frac {1}{4\pi }}\nabla \int _{V}{\frac {\nabla '\cdot \mathbf {F} }{\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}\mathrm {d} V'}$$

Así que esta es de hecho la descomposición de Helmholtz. ^[23]

Generalización a dimensiones superiores

Enfoque matricial

La generalización a dimensiones no se puede realizar con un potencial vectorial, ya que el operador de rotación y el producto vectorial se definen (como vectores) solo en tres dimensiones. ${\displaystyle d}$

Sea un campo vectorial en un dominio acotado que se desintegra más rápido que para y . ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle |\mathbf {r} |^{-\delta }}$ ${\displaystyle |\mathbf {r} |\to \infty }$ ${\displaystyle \delta >2}$

El potencial escalar se define de manera similar al caso tridimensional como: donde el núcleo de integración es nuevamente la solución fundamental de la ecuación de Laplace , pero en un espacio d-dimensional: con el volumen de las bolas unitarias d-dimensionales y la función gamma . $${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=-\int _{\mathbb {R} ^{d}}\operatorname {div} (\mathbf {F} (\mathbf {r} '))K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'=-\int _{\mathbb {R} ^{d}}\sum _{i}{\frac {\partial F_{i}}{\partial r_{i}}}(\mathbf {r} ')K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\mathrm {d} V',}$$ ${\displaystyle K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$ $${\displaystyle K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\begin{cases}{\frac {1}{2\pi }}\log {|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}&d=2,\\{\frac {1}{d(2-d)V_{d}}}|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|^{2-d}&{\text{otherwise}},\end{cases}}}$$ ${\displaystyle V_{d}=\pi ^{\frac {d}{2}}/\Gamma {\big (}{\tfrac {d}{2}}+1{\big )}}$ ${\displaystyle \Gamma (\mathbf {r} )}$

Para , es igual a , lo que da como resultado el mismo prefactor que el anterior. El potencial rotacional es una matriz antisimétrica con los elementos: Por encima de la diagonal hay entradas que aparecen reflejadas en la diagonal, pero con un signo negativo. En el caso tridimensional, los elementos de la matriz corresponden simplemente a los componentes del potencial vectorial . Sin embargo, un potencial matricial de este tipo puede escribirse como un vector solo en el caso tridimensional, porque es válido solo para . ${\displaystyle d=3}$ ${\displaystyle V_{d}}$ ${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}}$ $${\displaystyle A_{ij}(\mathbf {r} )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}\left({\frac {\partial F_{i}}{\partial x_{j}}}(\mathbf {r} ')-{\frac {\partial F_{j}}{\partial x_{i}}}(\mathbf {r} ')\right)K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\mathrm {d} V'.}$$ ${\displaystyle \textstyle {\binom {d}{2}}}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =[A_{1},A_{2},A_{3}]=[A_{23},A_{31},A_{12}]}$ ${\displaystyle \textstyle {\binom {d}{2}}=d}$ ${\displaystyle d=3}$

Al igual que en el caso tridimensional, el campo de gradiente se define como El campo rotacional, por otro lado, se define en el caso general como la divergencia por filas de la matriz: En el espacio tridimensional, esto es equivalente a la rotación del potencial vectorial. ^{[8] [24]} $${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} )=-\nabla \Phi (\mathbf {r} ).}$$ $${\displaystyle \mathbf {R} (\mathbf {r} )=\left[\sum \nolimits _{k}\partial _{r_{k}}A_{ik}(\mathbf {r} );{1\leq i\leq d}\right].}$$

Enfoque tensorial

En un espacio vectorial de dimensión 1 con , se puede reemplazar por la función de Green adecuada para el laplaciano , definida por donde se utiliza la convención de suma de Einstein para el índice . Por ejemplo, en 2D. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d\neq 3}$ ${\textstyle -{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}}}$ $${\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=\delta ^{d}(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')}$$ ${\displaystyle \mu }$ ${\textstyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')={\frac {1}{2\pi }}\ln \left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}$

Siguiendo los mismos pasos que antes, podemos escribir donde es el delta de Kronecker (y se vuelve a utilizar la convención de suma). En lugar de la definición del laplaciano vectorial utilizada anteriormente, ahora utilizamos una identidad para el símbolo de Levi-Civita , que es válido en dimensiones, donde es un multiíndice de componentes . Esto da $${\displaystyle F_{\mu }(\mathbf {r} )=\int _{V}F_{\mu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '=\delta _{\mu \nu }\delta _{\rho \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '}$$ ${\displaystyle \delta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle \varepsilon }$ $${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \mu \rho }\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }=(d-2)!(\delta _{\mu \nu }\delta _{\rho \sigma }-\delta _{\mu \sigma }\delta _{\nu \rho })}$$ ${\displaystyle d\geq 2}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle (d-2)}$ $${\displaystyle F_{\mu }(\mathbf {r} )=\delta _{\mu \sigma }\delta _{\nu \rho }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '+{\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \mu \rho }\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}{\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '}$$

Por lo tanto, podemos escribir donde Nótese que el potencial vectorial se reemplaza por un tensor de rango en dimensiones. $${\displaystyle F_{\mu }(\mathbf {r} )=-{\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}\Phi (\mathbf {r} )+\varepsilon _{\mu \rho \alpha }{\frac {\partial }{\partial r_{\rho }}}A_{\alpha }(\mathbf {r} )}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&=-\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\nu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\\A_{\alpha }&={\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle (d-2)}$ ${\displaystyle d}$

Como es una función de solo , se puede reemplazar , lo que da como resultado que la integración por partes se pueda utilizar para obtener donde es el límite de . Estas expresiones son análogas a las dadas anteriormente para el espacio tridimensional. ${\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$ ${\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} '}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial r_{\mu }}}\rightarrow -{\frac {\partial }{\partial r'_{\mu }}}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&=\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r'_{\nu }}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\\A_{\alpha }&=-{\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}F_{\nu }(\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }'}}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (\mathbf {r} )&=-\int _{V}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r'_{\nu }}}F_{\nu }(\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '+\oint _{S}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')F_{\nu }(\mathbf {r} '){\hat {n}}'_{\nu }\,\mathrm {d} ^{d-1}\mathbf {r} '\\A_{\alpha }&={\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\int _{V}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} '){\frac {\partial }{\partial r_{\sigma }'}}F_{\nu }(\mathbf {r} ')\,\mathrm {d} ^{d}\mathbf {r} '-{\frac {1}{(d-2)!}}\varepsilon _{\alpha \nu \sigma }\oint _{S}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')F_{\nu }(\mathbf {r} '){\hat {n}}'_{\sigma }\,\mathrm {d} ^{d-1}\mathbf {r} '\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle S=\partial V}$ ${\displaystyle V}$

Para una generalización adicional a las variedades, consulte la discusión de la descomposición de Hodge a continuación.

Formas diferenciales

La descomposición de Hodge está estrechamente relacionada con la descomposición de Helmholtz, ^[25] generalizando desde campos vectoriales en R ³ a formas diferenciales en una variedad de Riemann M . La mayoría de las formulaciones de la descomposición de Hodge requieren que M sea compacto . ^[26] Dado que esto no es cierto para R ³ , el teorema de descomposición de Hodge no es estrictamente una generalización del teorema de Helmholtz. Sin embargo, la restricción de compacidad en la formulación habitual de la descomposición de Hodge puede reemplazarse por supuestos de decaimiento adecuados en el infinito en las formas diferenciales involucradas, dando una generalización adecuada del teorema de Helmholtz.

Extensiones de campos que no decaen en el infinito

La mayoría de los libros de texto sólo tratan con campos vectoriales que decaen más rápido que con en el infinito. ^{[16] [13] [27} ] Sin embargo, Otto Blumenthal demostró en 1905 que se puede utilizar un núcleo de integración adaptado para integrar campos que decaen más rápido que con , que es sustancialmente menos estricto. Para lograr esto, el núcleo en las integrales de convolución debe reemplazarse por . ^[28] Con núcleos de integración aún más complejos, se pueden encontrar soluciones incluso para funciones divergentes que no necesitan crecer más rápido que polinomial. ^{[12] [13] [24] [29]} ${\displaystyle |\mathbf {r} |^{-\delta }}$ ${\displaystyle \delta >1}$ ${\displaystyle |\mathbf {r} |^{-\delta }}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')}$ ${\displaystyle K'(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=K(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')-K(0,\mathbf {r} ')}$

Para todos los campos vectoriales analíticos que no necesitan ir a cero incluso en el infinito, se pueden utilizar métodos basados ​​en la integración parcial y la fórmula de Cauchy para la integración repetida ^[30] para calcular soluciones de forma cerrada de los potenciales de rotación y escalares, como en el caso de las funciones polinómicas multivariadas seno , coseno y exponencial . ^[8]

Unicidad de la solución

En general, la descomposición de Helmholtz no está definida de forma única. Una función armónica es una función que satisface . Al sumar al potencial escalar , se puede obtener una descomposición de Helmholtz diferente: ${\displaystyle H(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \Delta H(\mathbf {r} )=0}$ ${\displaystyle H(\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {G} '(\mathbf {r} )&=\nabla (\Phi (\mathbf {r} )+H(\mathbf {r} ))=\mathbf {G} (\mathbf {r} )+\nabla H(\mathbf {r} ),\\\mathbf {R} '(\mathbf {r} )&=\mathbf {R} (\mathbf {r} )-\nabla H(\mathbf {r} ).\end{aligned}}}$$

Para los campos vectoriales que decaen en el infinito, es una opción plausible que los potenciales escalares y de rotación también decaigan en el infinito. Debido a que es la única función armónica con esta propiedad, que se desprende del teorema de Liouville , esto garantiza la unicidad de los campos de gradiente y rotación. ^[31] ${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle H(\mathbf {r} )=0}$

Esta singularidad no se aplica a los potenciales: en el caso tridimensional, el potencial escalar y el potencial vectorial tienen conjuntamente cuatro componentes, mientras que el campo vectorial tiene solo tres. El campo vectorial es invariante a las transformaciones de calibre y la elección de potenciales apropiados, conocida como fijación de calibre, es el tema de la teoría de calibre . Ejemplos importantes de la física son la condición de calibre de Lorenz y el calibre de Coulomb . Una alternativa es utilizar la descomposición poloidal-toroidal .

Aplicaciones

Electrodinámica

El teorema de Helmholtz es de particular interés en electrodinámica , ya que puede utilizarse para escribir las ecuaciones de Maxwell en la imagen del potencial y resolverlas más fácilmente. La descomposición de Helmholtz puede utilizarse para demostrar que, dada la densidad de corriente eléctrica y la densidad de carga , se pueden determinar el campo eléctrico y la densidad de flujo magnético . Son únicos si las densidades se anulan en el infinito y se supone lo mismo para los potenciales. ^[16]

Dinámica de fluidos

En dinámica de fluidos , la proyección de Helmholtz juega un papel importante, especialmente para la teoría de solubilidad de las ecuaciones de Navier-Stokes . Si la proyección de Helmholtz se aplica a las ecuaciones de Navier-Stokes incompresibles linealizadas, se obtiene la ecuación de Stokes . Esta depende solo de la velocidad de las partículas en el flujo, pero ya no de la presión estática, lo que permite reducir la ecuación a una incógnita. Sin embargo, ambas ecuaciones, la de Stokes y las ecuaciones linealizadas, son equivalentes. El operador se llama operador de Stokes . ^[32] ${\displaystyle P\Delta }$

Teoría de sistemas dinámicos

En la teoría de sistemas dinámicos , la descomposición de Helmholtz se puede utilizar para determinar "cuasipotenciales", así como para calcular funciones de Lyapunov en algunos casos. ^{[33] [34] [35]}

Para algunos sistemas dinámicos como el sistema de Lorenz ( Edward N. Lorenz , 1963 ^[36] ), un modelo simplificado para la convección atmosférica , se puede obtener una expresión en forma cerrada de la descomposición de Helmholtz: La descomposición de Helmholtz de , con el potencial escalar se da como: $${\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\big [}a(r_{2}-r_{1}),r_{1}(b-r_{3})-r_{2},r_{1}r_{2}-cr_{3}{\big ]}.}$$ ${\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )}$ ${\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\tfrac {a}{2}}r_{1}^{2}+{\tfrac {1}{2}}r_{2}^{2}+{\tfrac {c}{2}}r_{3}^{2}}$

$${\displaystyle \mathbf {G} (\mathbf {r} )={\big [}-ar_{1},-r_{2},-cr_{3}{\big ]},}$$ $${\displaystyle \mathbf {R} (\mathbf {r} )={\big [}+ar_{2},br_{1}-r_{1}r_{3},r_{1}r_{2}{\big ]}.}$$

El potencial escalar cuadrático proporciona movimiento en la dirección del origen de coordenadas, que es responsable del punto fijo estable para un rango de parámetros. Para otros parámetros, el campo de rotación asegura que se cree un atractor extraño , lo que hace que el modelo presente un efecto mariposa . ^{[8] [37]}

Imágenes médicas

En la elastografía por resonancia magnética , una variante de la resonancia magnética en la que se utilizan ondas mecánicas para investigar la viscoelasticidad de los órganos, a veces se utiliza la descomposición de Helmholtz para separar los campos de desplazamiento medidos en su componente de corte (sin divergencia) y su componente de compresión (sin rizo). ^[38] De esta manera, el módulo de corte complejo se puede calcular sin contribuciones de las ondas de compresión.

Animación por ordenador y robótica

La descomposición de Helmholtz también se utiliza en el campo de la ingeniería informática, en particular en la robótica, la reconstrucción de imágenes y la animación por ordenador, donde la descomposición se utiliza para la visualización realista de fluidos o campos vectoriales. ^{[15] [39]}

Véase también

• Portal de matemáticas
• Portal de física

• Representación de Clebsch para una descomposición relacionada de campos vectoriales
• Lagrangiano de Darwin para una aplicación
• Descomposición poloidal-toroidal para una descomposición adicional del componente libre de divergencia . ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} }$
• Descomposición escalar-vectorial-tensor
• Teoría de Hodge que generaliza la descomposición de Helmholtz
• Teorema de factorización polar
• Descomposición de Helmholtz-Leray utilizada para definir la proyección de Leray

Notas

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   Véase también: Método de las fluxiones .
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   Véase también: Teorema de Green .
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Referencias

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