Tensor de torsión

Manera de caracterizar un giro o un tornillo de un marco móvil alrededor de una curva

Desarrollo del círculo unitario en el espacio euclidiano , con cuatro opciones diferentes de conexión plana que preservan la métrica euclidiana, definida por , donde es un escalar constante, respectivamente: . Las curvas resultantes tienen todas longitud de arco , curvatura y torsión respectiva (en el sentido de Frenet-Serret ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \nabla _{e_{i}}e_{j}=\tau \,e_{i}\times e_{j}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau =0.01,0.1,0.5,1.0}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \tau }$

En geometría diferencial , el tensor de torsión es un tensor que está asociado a cualquier conexión afín . El tensor de torsión es una función bilineal de dos vectores de entrada , que produce un vector de salida que representa el desplazamiento dentro de un espacio tangente cuando el espacio tangente se desarrolla (o "enrolla") a lo largo de un paralelogramo infinitesimal cuyos lados son . Es antisimétrico en sus entradas, porque el desarrollo sobre el paralelogramo en el sentido opuesto produce el desplazamiento opuesto, de manera similar a cómo un tornillo se mueve en direcciones opuestas cuando se tuerce en dos direcciones. ${\displaystyle X,Y}$ ${\displaystyle T(X,Y)}$ ${\displaystyle X,Y}$

La torsión es particularmente útil en el estudio de la geometría de las geodésicas . Dado un sistema de geodésicas parametrizadas, se puede especificar una clase de conexiones afines que tengan esas geodésicas, pero que difieran por sus torsiones. Hay una conexión única que absorbe la torsión , generalizando la conexión de Levi-Civita a otras situaciones, posiblemente no métricas (como la geometría de Finsler ). La diferencia entre una conexión con torsión y una conexión correspondiente sin torsión es un tensor, llamado tensor de contorsión . La absorción de la torsión también juega un papel fundamental en el estudio de las G-estructuras y el método de equivalencia de Cartan . La torsión también es útil en el estudio de familias no parametrizadas de geodésicas, a través de la conexión proyectiva asociada . En la teoría de la relatividad , tales ideas se han implementado en forma de teoría de Einstein-Cartan .

Definición

Sea M una variedad con una conexión afín en el fibrado tangente (también conocido como derivada covariante ) ∇. El tensor de torsión (a veces llamado tensor de torsión de Cartan ) de ∇ es la forma 2 con valores vectoriales definida en los campos vectoriales X e Y por ^[1]

${\displaystyle T(X,Y):=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]}$

donde [ X , Y ] es el corchete de Lie de dos campos vectoriales. Por la regla de Leibniz , T ( fX , Y ) = T ( X , fY ) = fT ( X , Y ) para cualquier función suave f . Por lo tanto, T es tensorial , a pesar de estar definida en términos de la conexión que es un operador diferencial de primer orden: da una 2-forma en vectores tangentes, mientras que la derivada covariante solo está definida para campos vectoriales.

Componentes del tensor de torsión

Los componentes del tensor de torsión en términos de una base local ( e ₁ , ..., e _n ) de secciones del fibrado tangente se pueden derivar fijando X = e _i , Y = e _j e introduciendo los coeficientes del conmutador γ ^k _ij e _k  := [ e _i , e _j ] . Los componentes de la torsión son entonces ^[2] ${\displaystyle T^{c}{}_{ab}}$

${\displaystyle T^{k}{}_{ij}:=\Gamma ^{k}{}_{ij}-\Gamma ^{k}{}_{ji}-\gamma ^{k}{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.}$

Aquí están los coeficientes de conexión que definen la conexión. Si la base es holonómica , entonces los corchetes de Lie desaparecen, . Por lo tanto . En particular (ver más abajo), mientras que las ecuaciones geodésicas determinan la parte simétrica de la conexión, el tensor de torsión determina la parte antisimétrica. ${\displaystyle {\Gamma ^{k}}_{ij}}$ ${\displaystyle \gamma ^{k}{}_{ij}=0}$ ${\displaystyle T^{k}{}_{ij}=2\Gamma ^{k}{}_{[ij]}}$

La forma de torsión

La forma de torsión , una caracterización alternativa de la torsión, se aplica al fibrado de marcos F M de la variedad M . Este fibrado principal está equipado con una forma de conexión ω , una forma unidimensional con valores gl ( n ) que asigna vectores verticales a los generadores de la acción derecha en gl ( n ) y entrelaza de manera equivariante la acción derecha de GL( n ) en el fibrado tangente de F M con la representación adjunta en gl ( n ). El fibrado de marcos también tiene una forma unidimensional canónica θ, con valores en R ⁿ , definida en un marco u ∈ F _x M (considerado como una función lineal u  : R ⁿ → T _x M ) por ^[3]

${\displaystyle \theta (X)=u^{-1}(\pi _{*}(X))}$

donde π  : F M → M es la proyección del haz principal y π∗ es su empuje hacia adelante. La forma de torsión es entonces ^[4]

${\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta .}$

Equivalentemente, Θ = Dθ , donde D es la derivada covariante exterior determinada por la conexión.

La forma de torsión es una forma tensorial (horizontal) con valores en R ⁿ , lo que significa que bajo la acción correcta de g ∈ GL( n ) se transforma de manera equivariante :

${\displaystyle R_{g}^{*}\Theta =g^{-1}\cdot \Theta }$

donde g actúa en el lado derecho a través de su representación adjunta en R ⁿ .

Forma de torsión en un marco

La forma de torsión puede expresarse en términos de una forma de conexión en la variedad base M , escrita en un marco particular del fibrado tangente ( e ₁ , ..., e _n ) . La forma de conexión expresa la derivada covariante exterior de estas secciones básicas: ^[5]

${\displaystyle D\mathbf {e} _{i}=\mathbf {e} _{j}{\omega ^{j}}_{i}.}$

La forma de soldadura para el fibrado tangente (en relación con este marco) es la base dual θ ⁱ ∈ T ^∗ M de e _i , de modo que θ ⁱ ( e _j ) = δ ⁱ _j (el delta de Kronecker ). Entonces la 2-forma de torsión tiene componentes

${\displaystyle \Theta ^{k}=d\theta ^{k}+{\omega ^{k}}_{j}\wedge \theta ^{j}={T^{k}}_{ij}\theta ^{i}\wedge \theta ^{j}.}$

En la expresión más a la derecha,

${\displaystyle {T^{k}}_{ij}=\theta ^{k}\left(\nabla _{\mathbf {e} _{i}}\mathbf {e} _{j}-\nabla _{\mathbf {e} _{j}}\mathbf {e} _{i}-\left[\mathbf {e} _{i},\mathbf {e} _{j}\right]\right)}$

son los componentes del marco del tensor de torsión, como se indica en la definición anterior.

Se puede demostrar fácilmente que Θ ⁱ se transforma tensorialmente en el sentido de que si se utiliza un marco diferente

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {e} }}_{i}=\mathbf {e} _{j}{g^{j}}_{i}}$

para alguna función matricial invertible ( g ^j _i ), entonces

${\displaystyle {\tilde {\Theta }}^{i}={\left(g^{-1}\right)^{i}}_{j}\Theta ^{j}.}$

En otros términos, Θ es un tensor de tipo (1, 2) (que lleva un índice contravariante y dos covariantes).

Alternativamente, la forma de soldadura se puede caracterizar de una manera independiente del marco como la forma unidimensional θ con valor T M en M correspondiente al endomorfismo identidad del fibrado tangente bajo el isomorfismo de dualidad End(T M ) ≈ T M ⊗ T ^∗ M . Entonces, la 2-forma de torsión es una sección

${\displaystyle \Theta \in {\text{Hom}}\left({\textstyle \bigwedge }^{2}{\rm {T}}M,{\rm {T}}M\right)}$

dado por

${\displaystyle \Theta =D\theta ,}$

donde D es la derivada covariante exterior . (Ver el formulario de conexión para más detalles).

Descomposición irreducible

El tensor de torsión se puede descomponer en dos partes irreducibles : una parte sin trazas y otra parte que contiene los términos de traza. Utilizando la notación de índice , la traza de T se da por

${\displaystyle a_{i}=T^{k}{}_{ik},}$

y la parte que no deja rastro es

${\displaystyle B^{i}{}_{jk}=T^{i}{}_{jk}+{\frac {1}{n-1}}\delta ^{i}{}_{j}a_{k}-{\frac {1}{n-1}}\delta ^{i}{}_{k}a_{j},}$

donde δ ⁱ _j es el delta de Kronecker .

Intrínsecamente, uno tiene

${\displaystyle T\in \operatorname {Hom} \left({\textstyle \bigwedge }^{2}{\rm {T}}M,{\rm {T}}M\right).}$

La traza de T , tr T , es un elemento de T ^∗ M definido de la siguiente manera. Para cada vector fijo X ∈ T M , T define un elemento T ( X ) de Hom(T M , T M ) mediante

${\displaystyle T(X):Y\mapsto T(X\wedge Y).}$

Entonces (tr T )( X ) se define como la traza de este endomorfismo. Es decir,

${\displaystyle (\operatorname {tr} \,T)(X){\stackrel {\text{def}}{=}}\operatorname {tr} (T(X)).}$

La parte libre de trazas de T es entonces

${\displaystyle T_{0}=T-{\frac {1}{n-1}}\iota (\operatorname {tr} \,T),}$

donde ι denota el producto interior .

La curvatura y las identidades de Bianchi

El tensor de curvatura de ∇ es una aplicación T M × T M → End(T M ) definida en los campos vectoriales X , Y y Z por

${\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z.}$

Para los vectores en un punto, esta definición es independiente de cómo se extienden los vectores a campos vectoriales alejados del punto (por lo tanto, define un tensor, de forma muy similar a la torsión).

Las identidades de Bianchi relacionan la curvatura y la torsión de la siguiente manera. ^[6] Sea la suma cíclica sobre X , Y y Z. Por ejemplo, ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$

${\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(R\left(X,Y\right)Z\right):=R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y.}$

Entonces se cumplen las siguientes identidades

1. La primera identidad de Bianchi:

   ${\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(R\left(X,Y\right)Z\right)={\mathfrak {S}}\left(T\left(T(X,Y),Z\right)+\left(\nabla _{X}T\right)\left(Y,Z\right)\right)}$

2. La segunda identidad de Bianchi:

   ${\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(\left(\nabla _{X}R\right)\left(Y,Z\right)+R\left(T\left(X,Y\right),Z\right)\right)=0}$

La forma de curvatura y las identidades de Bianchi

La forma de curvatura es la forma 2 con valor gl ( n )

${\displaystyle \Omega =D\omega =d\omega +\omega \wedge \omega }$

donde, nuevamente, D denota la derivada covariante exterior. En términos de la forma de curvatura y la forma de torsión, las identidades de Bianchi correspondientes son ^[7]

1. ${\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta }$
2. ${\displaystyle D\Omega =0.}$

Además, se pueden recuperar los tensores de curvatura y torsión a partir de las formas de curvatura y torsión de la siguiente manera. En un punto u de F _x M , se tiene ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}R(X,Y)Z&=u\left(2\Omega \left(\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y)\right)\right)\left(u^{-1}(Z)\right),\\T(X,Y)&=u\left(2\Theta \left(\pi ^{-1}(X),\pi ^{-1}(Y)\right)\right),\end{aligned}}}$

donde nuevamente u  : R ⁿ → T _x M es la función que especifica el marco en la fibra, y la elección de la sustentación de los vectores a través de π ⁻¹ es irrelevante ya que las formas de curvatura y torsión son horizontales (se desvanecen en los vectores verticales ambiguos).

Caracterizaciones e interpretaciones

La torsión es una forma de caracterizar la cantidad de deslizamiento o torsión que sufre un plano al rodar a lo largo de una superficie o una variedad afín de dimensiones superiores . ^[9]

Por ejemplo, supongamos que un avión se hace rodar a lo largo de un pequeño círculo dibujado sobre una esfera. Si el avión no se desliza ni se tuerce, entonces, cuando se lo hace rodar a lo largo de todo el círculo, también trazará un círculo en el plano. Resulta que el avión habrá girado (a pesar de que no se produjo ninguna torsión al rodarlo), un efecto debido a la curvatura de la esfera. Pero la curva trazada seguirá siendo un círculo, y por lo tanto, en particular, una curva cerrada que comienza y termina en el mismo punto. Por otro lado, si el avión se hiciera rodar a lo largo de la esfera, pero se le permitiera deslizarse o torcerse en el proceso, entonces la trayectoria que el círculo traza en el plano podría ser una curva mucho más general que ni siquiera necesita ser cerrada. La torsión es una forma de cuantificar este deslizamiento y torsión adicionales al rodar un avión a lo largo de una curva.

Así, el tensor de torsión se puede entender intuitivamente tomando un pequeño circuito en forma de paralelogramo con lados dados por los vectores v y w , en un espacio y haciendo rodar el espacio tangente a lo largo de cada uno de los cuatro lados del paralelogramo, marcando el punto de contacto a medida que avanza. Cuando se completa el circuito, la curva marcada se habrá desplazado fuera del plano del paralelogramo por un vector, denotado . Así, el tensor de torsión es un tensor: una función (bilineal) de dos vectores de entrada v y w que produce un vector de salida . Es antisimétrico en los argumentos v y w , un reflejo del hecho de que recorrer el circuito en sentido opuesto deshace el desplazamiento original, de la misma manera que girar un tornillo en direcciones opuestas desplaza el tornillo en direcciones opuestas. El tensor de torsión está relacionado con la torsión de una curva , aunque es distinto de ella, tal como aparece en las fórmulas de Frenet-Serret : la torsión de una conexión mide una dislocación de una curva desarrollada fuera de su plano, mientras que la torsión de una curva es también una dislocación fuera de su plano osculador . En la geometría de superficies, la torsión geodésica describe cómo una superficie se tuerce alrededor de una curva en la superficie. La noción complementaria de curvatura mide cómo los marcos móviles ruedan a lo largo de una curva sin resbalarse ni torcerse. ${\displaystyle T(v,w)}$ ${\displaystyle T(v,w)}$

Ejemplo

Consideremos el espacio euclidiano (plano) . Sobre él, ponemos una conexión que es plana, pero con torsión no nula, definida en el marco euclidiano estándar por el producto vectorial (euclidiano) : Consideremos ahora el transporte paralelo del vector a lo largo del eje, comenzando en el origen. El campo vectorial paralelo satisface entonces , y la ecuación diferencial Por lo tanto , y la solución es . ${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle e_{1},e_{2},e_{3}}$ $${\displaystyle \nabla _{e_{i}}e_{j}=e_{i}\times e_{j}.}$$ ${\displaystyle e_{2}}$ ${\displaystyle e_{1}}$ ${\displaystyle X(x)=a(x)e_{2}+b(x)e_{3}}$ ${\displaystyle X(0)=e_{2}}$ $${\displaystyle {\begin{array}{rl}0={\dot {X}}&=\nabla _{e_{1}}X={\dot {a}}e_{2}+{\dot {b}}e_{3}+ae_{1}\times e_{2}+be_{1}\times e_{3}\\&=({\dot {a}}-b)e_{2}+({\dot {b}}+a)e_{3}.\end{array}}}$$ ${\displaystyle {\dot {a}}=b,{\dot {b}}=-a}$ ${\displaystyle X=\cos x\,e_{2}-\sin x\,e_{3}}$

Ahora bien, la punta del vector , a medida que se transporta a lo largo del eje, traza la hélice. Así vemos que, en presencia de torsión, el transporte paralelo tiende a torcer un marco alrededor de la dirección del movimiento, de manera análoga al papel que desempeña la torsión en la geometría diferencial clásica de las curvas . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle e_{1}}$ $${\displaystyle x\,e_{1}+\cos x\,e_{2}-\sin x\,e_{3}.}$$

Desarrollo

Una interpretación de la torsión implica el desarrollo de una curva. ^[10] Supongamos que se da un bucle cerrado suave por partes , basado en el punto , donde . Suponemos que es homotópico a cero. La curva se puede desarrollar en el espacio tangente en de la siguiente manera. Sea un coframe paralelo a lo largo de , y sean las coordenadas en inducidas por . Un desarrollo de es una curva en cuyas coordenadas satisfacen la ecuación diferencial Si la torsión es cero, entonces la curva desarrollada también es un bucle cerrado (de modo que ). Por otro lado, si la torsión no es cero, entonces la curva desarrollada puede no estar cerrada, de modo que . Por lo tanto, el desarrollo de un bucle en presencia de torsión puede dislocarse, de manera análoga a una dislocación de tornillo . ^[11] ${\displaystyle \gamma :[0,1]\to M}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)=p}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \theta ^{i}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle \theta ^{i}(p)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ ${\displaystyle T_{p}M}$ ${\displaystyle x^{i}=x^{i}(t)}$ $${\displaystyle dx^{i}=\gamma ^{*}\theta ^{i}.}$$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)={\tilde {\gamma }}(1)}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)\not ={\tilde {\gamma }}(1)}$

Las consideraciones anteriores pueden hacerse más cuantitativas considerando un pequeño paralelogramo, que se origina en el punto , con lados . Entonces el bivector tangente al paralelogramo es . El desarrollo de este paralelogramo, utilizando la conexión, ya no está cerrado en general, y el desplazamiento al dar la vuelta al bucle es la traslación por el vector , donde es el tensor de torsión, hasta términos de orden superior en . Este desplazamiento es directamente análogo al vector de Burgers de la cristalografía. ^{[12] [13]} ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle v,w\in T_{p}M}$ ${\displaystyle v\wedge w\in \Lambda ^{2}T_{p}M}$ ${\displaystyle \Theta (v,w)}$ ${\displaystyle \Theta }$ ${\displaystyle v,w}$

En términos más generales, también se puede transportar un marco en movimiento a lo largo de la curva . La transformación lineal que experimenta el marco entre está determinada entonces por la curvatura de la conexión. En conjunto, la transformación lineal del marco y la traslación del punto de partida de a constituyen la holonomía de la conexión. ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ ${\displaystyle t=0,t=1}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)}$ ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(1)}$

La torsión de un filamento

En la ciencia de los materiales , y especialmente en la teoría de la elasticidad , las ideas de torsión también juegan un papel importante. Un problema modela el crecimiento de las vides, centrándose en la cuestión de cómo las vides logran retorcerse alrededor de los objetos. ^[14] La propia vid se modela como un par de filamentos elásticos retorcidos uno alrededor del otro. En su estado de minimización de energía, la vid crece naturalmente en forma de hélice . Pero la vid también puede estirarse para maximizar su extensión (o longitud). En este caso, la torsión de la vid está relacionada con la torsión del par de filamentos (o equivalentemente, la torsión de la superficie de la cinta que conecta los filamentos), y refleja la diferencia entre la configuración de maximización de longitud (geodésica) de la vid y su configuración de minimización de energía.

Torsión y vorticidad

En dinámica de fluidos , la torsión está naturalmente asociada a las líneas de vórtice .

Supóngase que se da una conexión en tres dimensiones, con curvatura de 2 formas y torsión de 2 formas . Sea el tensor de Levi-Civita antisimétrico , y Entonces las identidades de Bianchi Las identidades de Bianchi son implican que y Estas son las ecuaciones satisfechas por un medio continuo en equilibrio con densidad de momentos . ^[15] ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle \Omega _{a}^{b}}$ ${\displaystyle \Theta ^{a}=D\theta ^{a}}$ ${\displaystyle \eta _{abc}}$ $${\displaystyle t_{a}={\tfrac {1}{2}}\eta _{abc}\wedge \Omega ^{bc},}$$ $${\displaystyle s_{ab}=-\eta _{abc}\wedge \Theta ^{c}.}$$ $${\displaystyle D\Omega _{b}^{a}=0,\quad D\Theta ^{a}=\Omega _{b}^{a}\wedge \theta ^{b}.}$$ ${\displaystyle Dt_{a}=0}$ $${\displaystyle Ds_{ab}=\theta _{a}\wedge t_{b}-\theta _{b}\wedge t_{a}.}$$ ${\displaystyle s_{ab}}$

Geodésicas y absorción de torsión

Supongamos que γ ( t ) es una curva en M . Entonces γ es una geodésica parametrizada afínmente siempre que

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0}$

para todo tiempo t en el dominio de γ . (Aquí el punto denota diferenciación con respecto a t , que asocia con γ el vector tangente que apunta a lo largo de él.) Cada geodésica está determinada de forma única por su vector tangente inicial en el tiempo t = 0 , . ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)}$

Una aplicación de la torsión de una conexión implica la dispersión geodésica de la conexión: aproximadamente la familia de todas las geodésicas parametrizadas de manera afín. La torsión es la ambigüedad de clasificar las conexiones en términos de sus dispersiones geodésicas:

• Dos conexiones ∇ y ∇′ que tienen las mismas geodésicas parametrizadas afínmente (es decir, la misma pulverización geodésica) difieren solo en la torsión. ^[16]

Más precisamente, si X e Y son un par de vectores tangentes en p ∈ M , entonces sea

${\displaystyle \Delta (X,Y)=\nabla _{X}{\tilde {Y}}-\nabla '_{X}{\tilde {Y}}}$

sea ​​la diferencia de las dos conexiones, calculada en términos de extensiones arbitrarias de X e Y alejándose de p . Por la regla del producto de Leibniz , se ve que Δ en realidad no depende de cómo se extienden X e Y ′ (por lo que define un tensor en M ). Sean S y A las partes simétricas y alternas de Δ:

${\displaystyle S(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)+\Delta (Y,X)\right)}$

${\displaystyle A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)-\Delta (Y,X)\right)}$

Entonces

• ${\displaystyle A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)}$es la diferencia de los tensores de torsión.
• ∇ y ∇′ definen las mismas familias de geodésicas parametrizadas afínmente si y sólo si S ( X , Y ) = 0 .

En otras palabras, la parte simétrica de la diferencia entre dos conexiones determina si tienen las mismas geodésicas parametrizadas, mientras que la parte oblicua de la diferencia está determinada por las torsiones relativas de las dos conexiones. Otra consecuencia es:

• Dada cualquier conexión afín ∇, existe una única conexión libre de torsión ∇′ con la misma familia de geodésicas parametrizadas afínmente. La diferencia entre estas dos conexiones es, de hecho, un tensor, el tensor de contorsión .

Se trata de una generalización del teorema fundamental de la geometría de Riemann a conexiones generales afines (posiblemente no métricas). La selección de la única conexión libre de torsión subordinada a una familia de geodésicas parametrizadas se conoce como absorción de torsión y es una de las etapas del método de equivalencia de Cartan .

Véase también

• Tensor de contorsión
• Campo Curtright
• Tensor de curvatura
• Conexión Levi-Civita
• Coeficiente de torsión
• Torsión de curvas

Notas

1. Kobayashi y Nomizu (1963), Capítulo III, Teorema 5.1
2. Kobayashi y Nomizu (1963), Capítulo III, Proposición 7.6
3. Kobayashi y Nomizu (1963), Capítulo III, Sección 2
4. Kobayashi y Nomizu (1963), Capítulo III, Teorema 2.4
5. Kobayashi y Nomizu (1963), Capítulo III, Sección 7
6. Kobayashi y Nomizu 1963, Volumen 1, Proposición III.5.2.
7. Kobayashi y Nomizu 1963, Volumen 1, III.2.
8. Kobayashi y Nomizu 1963, Volumen 1, III.5.
9. Hehl, FW y Obukhov, YN (2007). La torsión de Elie Cartan en geometría y en teoría de campos, un ensayo. Preimpresión arXiv arXiv:0711.1535.
10. Kobayashi y Nomizu (1963), Capítulo III, Sección 4
11. Bilby, BA, Bullough, R., y Smith, E. (1955). Distribuciones continuas de dislocaciones: una nueva aplicación de los métodos de geometría no riemanniana. Actas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias matemáticas y físicas, 231(1185), 263-273.
12. "Torsión", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
13. Ozakin, A., y Yavari, A. (2014). Desarrollo afín de curvas cerradas en variedades de Weitzenböck y el vector de Burgers de la mecánica de dislocaciones. Matemáticas y mecánica de sólidos , 19(3), 299-307.
14. Goriely y otros 2006.
15. Trautman (1980) Comentarios sobre el artículo de Elie Cartan: Sur une generalization de la notion de courbure de Riemann et les espaces a torsion . En Bergmann, PG y De Sabbata, V. Cosmología y gravitación: giro, torsión, rotación y supergravedad (Vol. 58). Medios de ciencia y negocios de Springer.
16. Véase Spivak (1999) Volumen II, Apéndice 1 al Capítulo 6. Véase también Bishop y Goldberg (1980), sección 5.10.

Referencias

• Bishop, RL ; Goldberg, SI (1980), Análisis tensorial en variedades , Dover Publications
• Cartan, É. (1923), "Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie)", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 40 : 325–412, doi : 10.24033/asens.751
• Cartan, É. (1924), "Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (Suite)", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 41 : 1–25, doi : 10.24033/asens.753
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• Spivak, M. (1999), Una introducción completa a la geometría diferencial, Volumen II , Houston, Texas: Publish or Perish, ISBN 0-914098-71-3

Enlaces externos

• Bill Thurston (2011) Interpretación de la torsión mediante rodamiento sin deslizamiento, URL (versión: 2011-01-27).