Forma diferencial con valores vectoriales

En matemáticas , una forma diferencial con valores vectoriales en una variedad M es una forma diferencial en M con valores en un espacio vectorial V. En términos más generales, es una forma diferencial con valores en algún fibrado vectorial E sobre M. Las formas diferenciales ordinarias pueden considerarse formas diferenciales con valores R.

Un caso importante de formas diferenciales con valores vectoriales son las formas con valores de álgebra de Lie (una forma de conexión es un ejemplo de este tipo de forma).

Definición

Sea M una variedad suave y E → M un fibrado vectorial suave sobre M . Denotamos el espacio de secciones suaves de un fibrado E por Γ( E ). Una forma diferencial de grado p con valor E es una sección suave del fibrado tensorial de E con Λ ^p ( T ^∗ M ), la p -ésima potencia exterior del fibrado cotangente de M . El espacio de tales formas se denota por

${\displaystyle \Omega ^{p}(M,E)=\Gamma (E\otimes \Lambda ^{p}T^{*}M).}$

Dado que Γ es un funtor monoidal fuerte , ^[1] esto también puede interpretarse como

${\displaystyle \Gamma (E\otimes \Lambda ^{p}T^{*}M)=\Gamma (E)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Gamma (\Lambda ^{p}T^{*}M)=\Gamma (E)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M),}$

donde los dos últimos productos tensoriales son el producto tensorial de módulos sobre el anillo Ω ⁰ ( M ) de funciones suaves de valor R en M (véase el séptimo ejemplo aquí ). Por convención, una forma 0 de valor E es simplemente una sección del fibrado E . Es decir,

${\displaystyle \Omega ^{0}(M,E)=\Gamma (E).\,}$

De manera equivalente, una forma diferencial con valor E se puede definir como un morfismo de haz.

${\displaystyle TM\otimes \cdots \otimes TM\to E}$

que es totalmente antisimétrico .

Sea V un espacio vectorial fijo . Una forma diferencial de grado p con valores V es una forma diferencial de grado p con valores en el fibrado trivial M × V. El espacio de tales formas se denota Ω ^p ( M , V ). Cuando V = R se recupera la definición de una forma diferencial ordinaria. Si V es de dimensión finita, entonces se puede demostrar que el homomorfismo natural

${\displaystyle \Omega ^{p}(M)\otimes _{\mathbb {R} }V\to \Omega ^{p}(M,V),}$

donde el primer producto tensorial es de espacios vectoriales sobre R , es un isomorfismo. ^[2]

Operaciones sobre formas con valores vectoriales

Obstáculo

Se puede definir el pullback de formas con valores vectoriales mediante aplicaciones suaves , al igual que para las formas ordinarias. El pullback de una forma con valores E en N mediante una aplicación suave φ : M → N es una forma con valores (φ* E ) en M , donde φ* E es el fibrado de pullback de E por φ.

La fórmula se da igual que en el caso ordinario. Para cualquier forma p ω con valor E en N, el retroceso φ*ω se da por

${\displaystyle (\varphi ^{*}\omega )_{x}(v_{1},\cdots ,v_{p})=\omega _{\varphi (x)}(\mathrm {d} \varphi _{x}(v_{1}),\cdots ,\mathrm {d} \varphi _{x}(v_{p})).}$

Producto de cuña

Al igual que para las formas diferenciales ordinarias, se puede definir un producto de cuña de formas con valores vectoriales. El producto de cuña de una forma p con valores E _{1 y una forma} q con valores E ₂ es naturalmente una forma ( p + q ) con valores ( E ₁ ⊗ E ₂ ) :

${\displaystyle \wedge :\Omega ^{p}(M,E_{1})\times \Omega ^{q}(M,E_{2})\to \Omega ^{p+q}(M,E_{1}\otimes E_{2}).}$

La definición es igual a la de las formas ordinarias con la excepción de que la multiplicación real se reemplaza por el producto tensorial :

${\displaystyle (\omega \wedge \eta )(v_{1},\cdots ,v_{p+q})={\frac {1}{p!q!}}\sum _{\sigma \in S_{p+q}}\operatorname {sgn}(\sigma )\omega (v_{\sigma (1)},\cdots ,v_{\sigma (p)})\otimes \eta (v_{\sigma (p+1)},\cdots ,v_{\sigma (p+q)}).}$

En particular, el producto de cuña de una forma p ordinaria (valorada en R ) con una forma q valorada en E es naturalmente una forma (valorada en E) ( p + q ) (ya que el producto tensorial de E con el fibrado trivial M × R es naturalmente isomorfo a E ). Para ω ∈ Ω ^p ( M ) y η ∈ Ω ^q ( M , E ) se tiene la relación de conmutatividad habitual:

${\displaystyle \omega \wedge \eta =(-1)^{pq}\eta \wedge \omega .}$

En general, el producto de cuña de dos formas con valores E no es otra forma con valores E , sino una forma con valores ( E ⊗ E ). Sin embargo, si E es un fibrado de álgebras (es decir, un fibrado de álgebras en lugar de solo espacios vectoriales), se puede componer con multiplicación en E para obtener una forma con valores E. Si E es un fibrado de álgebras asociativas conmutativas , entonces, con este producto de cuña modificado, el conjunto de todas las formas diferenciales con valores E

${\displaystyle \Omega (M,E)=\bigoplus _{p=0}^{\dim M}\Omega ^{p}(M,E)}$

se convierte en un álgebra asociativa conmutativa graduada . Si las fibras de E no son conmutativas, entonces Ω( M , E ) no será conmutativa graduada.

Derivado exterior

Para cualquier espacio vectorial V existe una derivada exterior natural en el espacio de formas con valores V. Esta es simplemente la derivada exterior ordinaria que actúa componente por componente en relación con cualquier base de V. Explícitamente, si { e _α } es una base para V , entonces la diferencial de una forma p con valores V ω = ω ^α e _α está dada por

${\displaystyle d\omega =(d\omega ^{\alpha })e_{\alpha }.\,}$

La derivada exterior en formas con valores V está completamente caracterizada por las relaciones habituales:

${\displaystyle {\begin{aligned}&d(\omega +\eta )=d\omega +d\eta \\&d(\omega \wedge \eta )=d\omega \wedge \eta +(-1)^{p}\,\omega \wedge d\eta \qquad (p=\deg \omega )\\&d(d\omega )=0.\end{aligned}}}$

En términos más generales, las observaciones anteriores se aplican a formas con valores E , donde E es cualquier fibrado vectorial plano sobre M (es decir, una fibrado vectorial cuyas funciones de transición son constantes). La derivada exterior se define como se indicó anteriormente en cualquier trivialización local de E.

Si E no es plano, entonces no existe una noción natural de una derivada exterior que actúe sobre formas con valores E. Lo que se necesita es una elección de conexión sobre E. Una conexión sobre E es un operador diferencial lineal que lleva secciones de E a formas con valores E :

${\displaystyle \nabla :\Omega ^{0}(M,E)\to \Omega ^{1}(M,E).}$

Si E está dotado de una conexión ∇ entonces existe una única derivada exterior covariante

${\displaystyle d_{\nabla }:\Omega ^{p}(M,E)\to \Omega ^{p+1}(M,E)}$

extendiendo ∇. La derivada exterior covariante se caracteriza por la linealidad y la ecuación

${\displaystyle d_{\nabla }(\omega \wedge \eta )=d_{\nabla }\omega \wedge \eta +(-1)^{p}\,\omega \wedge d\eta }$

donde ω es una forma p con valor E y η es una forma q ordinaria . En general, no es necesario que d _∇ ^{2 = 0. De hecho, esto sucede si y solo si la conexión ∇ es plana (es decir, tiene} una curvatura que se desvanece ).

Formas básicas o tensoriales en haces principales

Sea E → M un fibrado vectorial suave de rango k sobre M y sea π  : F( E ) → M el fibrado de marco ( asociado ) de E , que es un fibrado principal GL _k ( R ) sobre M . El pullback de E por π es canónicamente isomorfo a F( E ) × _ρ R ^k mediante la inversa de [ u , v ] → u ( v ), donde ρ es la representación estándar. Por lo tanto, el pullback por π de una forma E -valuada en M determina una forma R ^k -valuada en F( E ). No es difícil comprobar que esta forma pullback es equivariante por la derecha con respecto a la acción natural de GL _k ( R ) sobre F( E ) × R ^k y se desvanece en vectores verticales (vectores tangentes a F( E ) que se encuentran en el núcleo de d π ). Estas formas con valores vectoriales en F( E ) son lo suficientemente importantes como para justificar una terminología especial: se denominan formas básicas o tensoriales en F( E ).

Sea π  : P → M un fibrado principal G (suave) y sea V un espacio vectorial fijo junto con una representación ρ  : G → GL( V ). Una forma básica o tensorial en P de tipo ρ es una forma ω de valor V en P que es equivariante y horizontal en el sentido de que

1. ${\displaystyle (R_{g})^{*}\omega =\rho (g^{-1})\omega \,}$para todo g ∈ G , y
2. ${\displaystyle \omega (v_{1},\ldots ,v_{p})=0}$siempre que al menos una de las v _i sea vertical (es decir, d π ( v _i ) = 0).

Aquí R _g denota la acción correcta de G sobre P para algún g ∈ G . Nótese que para las formas 0 la segunda condición es vacuamente verdadera .

Ejemplo: Si ρ es la representación adjunta de G en el álgebra de Lie, entonces la forma de conexión ω satisface la primera condición (pero no la segunda). La forma de curvatura asociada Ω satisface ambas; por lo tanto, Ω es una forma tensorial de tipo adjunto. La "diferencia" de dos formas de conexión es una forma tensorial.

Dados P y ρ como se indica anteriormente, se puede construir el fibrado vectorial asociado E = P × _ρ V . Las q -formas tensoriales en P están en una correspondencia uno a uno natural con las q -formas con valores E en M . Como en el caso del fibrado principal F( E ) anterior, dada una q -forma en M con valores en E , defina φ en P por fibras, digamos en u , ${\displaystyle {\overline {\phi }}}$

${\displaystyle \phi =u^{-1}\pi ^{*}{\overline {\phi }}}$

donde u se considera un isomorfismo lineal . φ es entonces una forma tensorial de tipo ρ. A la inversa, dada una forma tensorial φ de tipo ρ, la misma fórmula define una forma E -valuada en M (cf. el homomorfismo de Chern–Weil ). En particular, existe un isomorfismo natural de los espacios vectoriales ${\displaystyle V{\overset {\simeq }{\to }}E_{\pi (u)}=(\pi ^{*}E)_{u},v\mapsto [u,v]}$ ${\displaystyle {\overline {\phi }}}$

${\displaystyle \Gamma (M,E)\simeq \{f:P\to V|f(ug)=\rho (g)^{-1}f(u)\},\,{\overline {f}}\leftrightarrow f}$.

Ejemplo: Sea E el fibrado tangente de M . Entonces, la función de fibrado identidad id _E : E → E es una forma uno con valor E en M . La forma uno tautológica es una forma uno única en el fibrado de marco de E que corresponde a id _E . Denotada por θ, es una forma tensorial de tipo estándar.

Ahora, supongamos que hay una conexión en P de modo que hay una diferenciación covariante exterior D en (diversas) formas con valores vectoriales en P. A través de la correspondencia anterior, D también actúa en formas con valores E : defina ∇ por

${\displaystyle \nabla {\overline {\phi }}={\overline {D\phi }}.}$

En particular para las formas cero,

${\displaystyle \nabla :\Gamma (M,E)\to \Gamma (M,T^{*}M\otimes E)}$.

Esta es exactamente la derivada covariante para la conexión en el fibrado vectorial E. ^[3]

Ejemplos

Las formas modulares de Siegel surgen como formas diferenciales con valores vectoriales en las variedades modulares de Siegel . ^[4]

Notas

1. "Secciones globales de un producto tensorial de fibrados vectoriales en una variedad suave". math.stackexchange.com . Consultado el 27 de octubre de 2014 .
2. Demostración: Se puede verificar esto para p = 0 convirtiendo una base para V en un conjunto de funciones constantes para V , lo que permite la construcción de un inverso al homomorfismo anterior. El caso general se puede demostrar notando que

   ${\displaystyle \Omega ^{p}(M,V)=\Omega ^{0}(M,V)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M),}$

   y que debido a que es un subanillo de Ω ⁰ ( M ) a través de las funciones constantes, ${\displaystyle \mathbb {R} }$

   ${\displaystyle \Omega ^{0}(M,V)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M)=(V\otimes _{\mathbb {R} }\Omega ^{0}(M))\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M)=V\otimes _{\mathbb {R} }(\Omega ^{0}(M)\otimes _{\Omega ^{0}(M)}\Omega ^{p}(M))=V\otimes _{\mathbb {R} }\Omega ^{p}(M).}$

3. Demostración: para cualquier forma cero tensorial de valor escalar f y cualquier forma cero tensorial φ de tipo ρ, y Df = df ya que f desciende a una función en M ; cf. este Lema 2 . ${\displaystyle D(f\phi )=Df\otimes \phi +fD\phi }$
4. Hulek, Klaus; Sankaran, GK (2002). "La geometría de las variedades modulares de Siegel". Estudios avanzados en matemáticas puras . 35 : 89–156.

Referencias

• Shoshichi Kobayashi y Katsumi Nomizu (1963) Fundamentos de geometría diferencial , Vol. 1, Wiley Interscience .