Paquete de productos Tensor

En geometría diferencial , el producto tensorial de los fibrados vectoriales E , F (sobre el mismo espacio ) es un fibrado vectorial, denotado por E ⊗ F , cuya fibra sobre un punto es el producto tensorial de los espacios vectoriales E _x ⊗ F _x . ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$

Ejemplo: Si O es un fibrado de líneas trivial, entonces E ⊗ O = E para cualquier E .

Ejemplo: E ⊗ E ^∗ es canónicamente isomorfo al fibrado endomorfista End( E ), donde E ^∗ es el fibrado dual de E .

Ejemplo: Un fibrado lineal L tiene inverso tensorial: de hecho, L ⊗ L ^∗ es (isomorfo a) un fibrado trivial según el ejemplo anterior, ya que End( L ) es trivial. Por lo tanto, el conjunto de las clases de isomorfismo de todos los fibrados lineales en algún espacio topológico X forma un grupo abeliano llamado grupo de Picard de X .

Variantes

También se puede definir una potencia simétrica y una potencia exterior de un fibrado vectorial de manera similar. Por ejemplo, una sección de es una p -forma diferencial y una sección de es una p -forma diferencial con valores en un fibrado vectorial E . ${\displaystyle \Lambda ^{p}T^{*}M}$ ${\displaystyle \Lambda ^{p}T^{*}M\otimes E}$

Véase también

• Producto tensorial de módulos

Notas

1. Para construir un fibrado tensorial sobre una base paracompacta, primero observe que la construcción es clara para fibrados triviales. Para el caso general, si la base es compacta, elija E ' tal que E ⊕ E ' sea trivial. Elija F ' de la misma manera. Luego sea E ⊗ F el subfibrado de ( E ⊕ E ' ) ⊗ ( F ⊕ F ' ) con las fibras deseadas. Finalmente, use el argumento de aproximación para manejar una base no compacta. Vea Hatcher para un enfoque directo general.

Referencias

• Hatcher, paquetes vectoriales y teoría K