Torsión de una curva

Medida matemática de cuánto se tuerce una curva.

En la geometría diferencial de curvas en tres dimensiones , la torsión de una curva mide cuán bruscamente se tuerce fuera del plano osculador . En conjunto, la curvatura y la torsión de una curva espacial son análogas a la curvatura de una curva plana . Por ejemplo, son coeficientes en el sistema de ecuaciones diferenciales para el marco de Frenet dado por las fórmulas de Frenet-Serret .

Definición

Animación de la torsión y la rotación correspondiente del vector binormal.

Sea r una curva espacial parametrizada por la longitud de arco s y con el vector tangente unitario T . Si la curvatura κ de r en un punto determinado no es cero, entonces el vector normal principal y el vector binormal en ese punto son los vectores unitarios

${\displaystyle \mathbf {N} ={\frac {\mathbf {T} '}{\kappa }},\quad \mathbf {B} =\mathbf {T} \times \mathbf {N} }$

respectivamente, donde la prima denota la derivada del vector respecto del parámetro s . La torsión τ mide la velocidad de rotación del vector binormal en el punto dado. Se obtiene a partir de la ecuación

${\displaystyle \mathbf {B} '=-\tau \mathbf {N} .}$

lo que significa

${\displaystyle \tau =-\mathbf {N} \cdot \mathbf {B} '.}$

Como , esto es equivalente a . ${\displaystyle \mathbf {N} \cdot \mathbf {B} =0}$ ${\displaystyle \tau =\mathbf {N} '\cdot \mathbf {B} }$

Observación : La derivada del vector binormal es perpendicular tanto al binormal como a la tangente, por lo tanto tiene que ser proporcional al vector normal principal. El signo negativo es simplemente una cuestión de convención: es un subproducto del desarrollo histórico del tema.

Relevancia geométrica: La torsión τ ( s ) mide el giro del vector binormal. Cuanto mayor es la torsión, más rápido gira el vector binormal alrededor del eje dado por el vector tangente (ver ilustraciones gráficas). En la figura animada, la rotación del vector binormal es claramente visible en los picos de la función de torsión.

Propiedades

• Una curva plana con curvatura no nula tiene torsión cero en todos sus puntos. Por el contrario, si la torsión de una curva regular con curvatura no nula es idénticamente cero, entonces esta curva pertenece a un plano fijo.
• La curvatura y la torsión de una hélice son constantes. Por el contrario, cualquier curva espacial cuya curvatura y torsión sean constantes y no nulas es una hélice. La torsión es positiva para una hélice dextrógira ^[1] y negativa para una levógira.

Descripción alternativa

Sea r = r ( t ) la ecuación paramétrica de una curva espacial. Supongamos que se trata de una parametrización regular y que la curvatura de la curva no se anula. Analíticamente, r ( t ) es una función tres veces diferenciable de t con valores en R ³ y los vectores

${\displaystyle \mathbf {r'} (t),\mathbf {r''} (t)}$

son linealmente independientes .

Luego la torsión se puede calcular a partir de la siguiente fórmula:

${\displaystyle \tau ={\frac {\det \left({\mathbf {r} ',\mathbf {r} '',\mathbf {r} '''}\right)}{\left\|{\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''}\right\|^{2}}}={\frac {\left({\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''}\right)\cdot \mathbf {r} '''}{\left\|{\mathbf {r} '\times \mathbf {r} ''}\right\|^{2}}}.}$

Aquí los primos denotan las derivadas con respecto a t y la cruz denota el producto vectorial . Para r = ( x , y , z ) , la fórmula en componentes es

${\displaystyle \tau ={\frac {x'''\left(y'z''-y''z'\right)+y'''\left(x''z'-x'z''\right)+z'''\left(x'y''-x''y'\right)}{\left(y'z''-y''z'\right)^{2}+\left(x''z'-x'z''\right)^{2}+\left(x'y''-x''y'\right)^{2}}}.}$

Notas

1. Weisstein, Eric W. "Torsión". mathworld.wolfram.com .

Referencias

• Pressley, Andrew (2001), Geometría diferencial elemental , Springer Undergraduate Mathematics Series, Springer-Verlag , ISBN 1-85233-152-6