Forma de soldadura

Construcción matemática de haces de fibras

Forma de soldadura de un círculo sobre un toro.

En matemáticas , más precisamente en geometría diferencial , una soldadura (o a veces forma de soldadura ) de un haz de fibras a una variedad lisa es una manera de unir las fibras a la variedad de tal manera que puedan considerarse tangentes. Intuitivamente, la soldadura expresa en términos abstractos la idea de que una variedad puede tener un punto de contacto con una cierta geometría modelo de Klein en cada punto. En geometría diferencial extrínseca, la soldadura se expresa simplemente por la tangencia del espacio modelo a la variedad. En geometría intrínseca, se necesitan otras técnicas para expresarla. La soldadura fue introducida en esta forma general por Charles Ehresmann en 1950. ^[1]

Soldadura de un haz de fibras

Sea M una variedad lisa, G un grupo de Lie y E un fibrado liso sobre M con grupo estructural G. Supóngase que G actúa transitivamente sobre la fibra típica F de E y que dim F = dim M. Una soldadura de E a M consta de los siguientes datos:

1. Una sección distinguida o  : M → E .
2. Un isomorfismo lineal de fibrados vectoriales θ : T M → o ^* V E desde el fibrado tangente de M hasta el retroceso del fibrado vertical de E a lo largo de la sección distinguida.

En particular, esta última condición puede interpretarse como que θ determina un isomorfismo lineal

${\displaystyle \theta _{x}:T_{x}M\rightarrow V_{o(x)}E}$

desde el espacio tangente de M en x hasta el espacio tangente (vertical) de la fibra en el punto determinado por la sección distinguida. La forma θ se denomina forma de soldadura para la soldadura.

Casos especiales

Por convención, siempre que la elección de la soldadura sea única o esté determinada canónicamente, la forma de la soldadura se denomina forma canónica o forma tautológica.

Fibrados afines y fibrados vectoriales

Supóngase que E es un fibrado vectorial afín (un fibrado vectorial sin elección de sección cero). Entonces, una soldadura sobre E especifica primero una sección distinguida : es decir, una elección de sección cero o , de modo que E puede identificarse como un fibrado vectorial. La forma de soldadura es entonces un isomorfismo lineal.

${\displaystyle \theta \colon TM\to V_{o}E,}$

Sin embargo, para un fibrado vectorial existe un isomorfismo canónico entre el espacio vertical en el origen y la fibra V _o E ≈ E . Al hacer esta identificación, la forma de la soldadura se especifica mediante un isomorfismo lineal

${\displaystyle TM\to E.}$

En otras palabras, una soldadura en un fibrado afín E es una elección de isomorfismo de E con el fibrado tangente de M.

A menudo se habla de una forma de soldadura en un fibrado vectorial , donde se entiende a priori que la sección distinguida de la soldadura es la sección cero del fibrado. En este caso, el grupo de estructura del fibrado vectorial a menudo se amplía implícitamente por el producto semidirecto de GL ( n ) con la fibra típica de E (que es una representación de GL ( n )). ^[2]

Ejemplos

• Como caso especial, por ejemplo, el propio fibrado tangente lleva una forma de soldadura canónica, es decir, la identidad.
• Si M tiene una métrica de Riemann (o métrica pseudo-Riemanniana ), entonces el tensor métrico covariante da un isomorfismo del fibrado tangente al fibrado cotangente , que es una forma de soldadura. ${\displaystyle g\colon TM\to T^{*}M}$
• En la mecánica hamiltoniana , la forma de soldadura se conoce como la forma unitaria tautológica , o alternativamente como la forma unitaria de Liouville , la forma unitaria de Poincaré , la forma unitaria canónica o el potencial simpléctico .
• Considere la banda de Möbius como un haz de fibras sobre el círculo. El haz vertical o ^* V E sigue siendo una banda de Möbius, mientras que el haz tangente T M es el cilindro, por lo que no hay forma de soldadura para esto.

Aplicaciones

• Una forma de soldadura en un haz vectorial permite definir los tensores de torsión y contorsión de una conexión .

• Las formas de soldadura ocurren en el modelo sigma , donde unen el espacio tangente de una variedad espacio-temporal al espacio tangente de la variedad de campo.

• Los vierbeins , o tétradas en la relatividad general, se parecen a las formas de soldadura, en el sentido de que unen los gráficos de coordenadas en la variedad espacio-temporal con la base preferida, generalmente ortonormal, en el espacio tangente, donde los cálculos se pueden simplificar considerablemente. Es decir, los gráficos de coordenadas son los de las definiciones anteriores y el campo de marco es el fibrado vertical . En el modelo sigma, los vierbeins son explícitamente las formas de soldadura. ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle VE}$

Paquetes principales

En el lenguaje de los fibrados principales, una forma de soldadura en un fibrado principal G liso P sobre una variedad lisa M es una 1-forma diferencial horizontal y G -equivariante en P con valores en una representación lineal V de G tales que el mapa de fibrado asociado del fibrado tangente TM al fibrado asociado P × _G V es un isomorfismo de fibrado . (En particular, V y M deben tener la misma dimensión).

Un ejemplo motivador de una forma de soldadura es la forma tautológica o fundamental en el haz de trama de una variedad.

La razón del nombre es que una forma de soldadura suelda (o une) el fibrado principal abstracto a la variedad M identificando un fibrado asociado con el fibrado tangente. Las formas de soldadura proporcionan un método para estudiar las estructuras G y son importantes en la teoría de las conexiones de Cartan . La terminología y el enfoque son particularmente populares en la literatura de física.

Notas

1. Kobayashi (1957).
2. Cf. Kobayashi (1957) sección 11 para una discusión de la reducción acompañante del grupo de estructura.

Referencias

• Ehresmann, C. (1950). "Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiel". Colloque de Topologie, Bruselas : 29–55.
• Kobayashi, Shoshichi (1957). "Teoría de las conexiones". Ann. Mat. Pura Appl . 43 (1): 119–194. doi : 10.1007/BF02411907 .
• Kobayashi, Shoshichi y Nomizu, Katsumi (1996). Fundamentos de geometría diferencial , vol. 1 y 2 (nueva edición). Wiley Interscience . ISBN 0-471-15733-3.