Tensor métrico

Estructura que define la distancia en una variedad

En el campo matemático de la geometría diferencial , un tensor métrico (o simplemente métrica ) es una estructura adicional sobre una variedad M (como una superficie ) que permite definir distancias y ángulos, así como el producto interno sobre un espacio euclidiano permite definir distancias y ángulos allí. Más precisamente, un tensor métrico en un punto p de M es una forma bilineal definida sobre el espacio tangente en p (es decir, una función bilineal que mapea pares de vectores tangentes a números reales ), y un cuerpo métrico sobre M consiste en un tensor métrico en cada punto p de M que varía suavemente con p .

Un tensor métrico g es definido positivo si g ( v , v ) > 0 para cada vector distinto de cero v . Una variedad equipada con un tensor métrico definido positivo se conoce como una variedad de Riemann . Se puede pensar que un tensor métrico de este tipo especifica una distancia infinitesimal en la variedad. En una variedad de Riemann M , la longitud de una curva suave entre dos puntos p y q se puede definir por integración, y la distancia entre p y q se puede definir como el ínfimo de las longitudes de todas esas curvas; esto hace que M sea un espacio métrico . Por el contrario, el tensor métrico en sí mismo es la derivada de la función de distancia (tomada de una manera adecuada). ^{[ cita requerida ]}

Si bien la noción de tensor métrico era conocida en cierto sentido por matemáticos como Gauss desde principios del siglo XIX, no fue hasta principios del siglo XX que sus propiedades como tensor fueron entendidas, en particular por Gregorio Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita , quienes codificaron por primera vez la noción de tensor. El tensor métrico es un ejemplo de un campo tensorial .

Los componentes de un tensor métrico en una base de coordenadas toman la forma de una matriz simétrica cuyas entradas se transforman de manera covariante al cambiar el sistema de coordenadas. Por lo tanto, un tensor métrico es un tensor simétrico covariante . Desde el punto de vista independiente de las coordenadas , un campo tensorial métrico se define como una forma bilineal simétrica no degenerada en cada espacio tangente que varía suavemente de un punto a otro.

Introducción

Carl Friedrich Gauss, en sus Disquisitiones generales circa superficies curvas ( Investigaciones generales sobre superficies curvas ) de 1827, consideró una superficie de forma paramétrica , con las coordenadas cartesianas x , y y z de los puntos de la superficie dependiendo de dos variables auxiliares u y v . Por lo tanto, una superficie paramétrica es (en términos actuales) una función con valores vectoriales .

${\displaystyle {\vec {r}}(u,\,v)={\bigl (}x(u,\,v),\,y(u,\,v),\,z(u,\,v){\bigr )}}$

dependiendo de un par ordenado de variables reales ( u , v ) , y definidas en un conjunto abierto D en el plano uv . Uno de los principales objetivos de las investigaciones de Gauss era deducir aquellas características de la superficie que pudieran describirse mediante una función que permanecería inalterada si la superficie sufriera una transformación en el espacio (como doblar la superficie sin estirarla), o un cambio en la forma paramétrica particular de la misma superficie geométrica.

Una de esas magnitudes invariantes naturales es la longitud de una curva dibujada a lo largo de la superficie. Otra es el ángulo entre un par de curvas dibujadas a lo largo de la superficie y que se encuentran en un punto común. Una tercera magnitud de ese tipo es el área de una parte de la superficie. El estudio de estas invariantes de una superficie llevó a Gauss a introducir el predecesor de la noción moderna del tensor métrico.

El tensor métrico se encuentra en la descripción a continuación; E, F y G en la matriz pueden contener cualquier número siempre que la matriz sea definida positiva. ${\textstyle {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}$

Longitud del arco

Si se considera que las variables u y v dependen de una tercera variable, t , que toma valores en un intervalo [ a , b ] , entonces r → ( u ( t ), v ( t )) trazará una curva paramétrica en la superficie paramétrica M . La longitud del arco de esa curva está dada por la integral

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\int _{a}^{b}\left\|{\frac {d}{dt}}{\vec {r}}(u(t),v(t))\right\|\,dt\\[5pt]&=\int _{a}^{b}{\sqrt {u'(t)^{2}\,{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}+2u'(t)v'(t)\,{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}+v'(t)^{2}\,{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}}}\,dt\,,\end{aligned}}}$

donde representa la norma euclidiana . Aquí se ha aplicado la regla de la cadena y los subíndices denotan derivadas parciales : ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|}$

${\displaystyle {\vec {r}}_{u}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u}}\,,\quad {\vec {r}}_{v}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial v}}\,.}$

El integrando es la restricción ^[1] a la curva de la raíz cuadrada de la diferencial ( cuadrática )

dónde

La cantidad ds en ( 1 ) se llama elemento de línea , mientras que ds ² se llama la primera forma fundamental de M. Intuitivamente, representa la parte principal del cuadrado del desplazamiento experimentado por r → ( u , v ) cuando u se incrementa en du unidades y v se incrementa en dv unidades.

Usando la notación matricial, la primera forma fundamental se convierte en

${\displaystyle ds^{2}={\begin{bmatrix}du&dv\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}}$

Transformaciones de coordenadas

Supongamos ahora que se selecciona una parametrización diferente, permitiendo que u y v dependan de otro par de variables u ′ y v ′ . Entonces el análogo de ( 2 ) para las nuevas variables es

La regla de la cadena relaciona E ′ , F ′ y G ′ con E , F y G a través de la ecuación matricial

donde el superíndice T denota la matriz transpuesta . La matriz con los coeficientes E , F y G dispuestos de esta manera se transforma por tanto mediante la matriz jacobiana del cambio de coordenadas

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}\,.}$

Una matriz que se transforma de esta manera es un tipo de lo que se llama un tensor . La matriz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}$

con la ley de transformación ( 3 ) se conoce como tensor métrico de la superficie.

Invariancia de la longitud del arco bajo transformaciones de coordenadas

Ricci-Curbastro y Levi-Civita (1900) fueron los primeros en observar la importancia de un sistema de coeficientes E , F y G , que se transformaban de esta manera al pasar de un sistema de coordenadas a otro. El resultado es que la primera forma fundamental ( 1 ) es invariante ante cambios en el sistema de coordenadas, y que esto se deduce exclusivamente de las propiedades de transformación de E , F y G . De hecho, por la regla de la cadena,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}}$

de modo que

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\begin{bmatrix}du&dv\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}\\[6pt]&={\begin{bmatrix}du'&dv'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\[6pt]{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\[6pt]{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}\\[6pt]&={\begin{bmatrix}du'&dv'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E'&F'\\F'&G'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}\\[6pt]&=(ds')^{2}\,.\end{aligned}}}$

Longitud y ángulo

Otra interpretación del tensor métrico, también considerada por Gauss, es que proporciona una forma de calcular la longitud de los vectores tangentes a la superficie, así como el ángulo entre dos vectores tangentes. En términos contemporáneos, el tensor métrico permite calcular el producto escalar (geometría no euclidiana) de los vectores tangentes de una manera independiente de la descripción paramétrica de la superficie. Cualquier vector tangente en un punto de la superficie paramétrica M se puede escribir en la forma

${\displaystyle \mathbf {p} =p_{1}{\vec {r}}_{u}+p_{2}{\vec {r}}_{v}}$

Para números reales adecuados p ₁ y p ₂ . Si se dan dos vectores tangentes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=a_{1}{\vec {r}}_{u}+a_{2}{\vec {r}}_{v}\\\mathbf {b} &=b_{1}{\vec {r}}_{u}+b_{2}{\vec {r}}_{v}\end{aligned}}}$

Luego, utilizando la bilinealidad del producto escalar,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=a_{1}b_{1}{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}+a_{1}b_{2}{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}+a_{2}b_{1}{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{u}+a_{2}b_{2}{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}\\[8pt]&=a_{1}b_{1}E+a_{1}b_{2}F+a_{2}b_{1}F+a_{2}b_{2}G.\\[8pt]&={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{bmatrix}}\,.\end{aligned}}}$

Esto es claramente una función de las cuatro variables a ₁ , b ₁ , a ₂ y b ₂ . Sin embargo, es más provechoso verla como una función que toma un par de argumentos a = [ a ₁ a ₂ ] y b = [ b ₁ b ₂ ] que son vectores en el plano uv . Es decir, pongamos

${\displaystyle g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=a_{1}b_{1}E+a_{1}b_{2}F+a_{2}b_{1}F+a_{2}b_{2}G\,.}$

Esta es una función simétrica en a y b , lo que significa que

${\displaystyle g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=g(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )\,.}$

También es bilineal , es decir, es lineal en cada variable a y b por separado. Es decir,

${\displaystyle {\begin{aligned}g\left(\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {a} ',\mathbf {b} \right)&=\lambda g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu g\left(\mathbf {a} ',\mathbf {b} \right),\quad {\text{and}}\\g\left(\mathbf {a} ,\lambda \mathbf {b} +\mu \mathbf {b} '\right)&=\lambda g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu g\left(\mathbf {a} ,\mathbf {b} '\right)\end{aligned}}}$

para cualquier vector a , a ′ , b y b ′ en el plano uv , y cualquier número real μ y λ .

En particular, la longitud de un vector tangente a está dada por

${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {g(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )}}}$

y el ángulo θ entre dos vectores a y b se calcula mediante

${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}\,.}$

Área

El área de la superficie es otra cantidad numérica que debería depender únicamente de la superficie en sí, y no de cómo esté parametrizada. Si la superficie M está parametrizada por la función r → ( u , v ) sobre el dominio D en el plano uv , entonces el área de la superficie de M viene dada por la integral

${\displaystyle \iint _{D}\left|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right|\,du\,dv}$

donde × denota el producto vectorial y el valor absoluto denota la longitud de un vector en el espacio euclidiano. Por la identidad de Lagrange para el producto vectorial, la integral se puede escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}&\iint _{D}{\sqrt {\left({\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}\right)\left({\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}\right)-\left({\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}\right)^{2}}}\,du\,dv\\[5pt]={}&\iint _{D}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv\\[5pt]={}&\iint _{D}{\sqrt {\det {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}}\,du\,dv\end{aligned}}}$

donde det es el determinante .

Definición

Sea M una variedad suave de dimensión n ; por ejemplo una superficie (en el caso n = 2 ) o hipersuperficie en el espacio cartesiano . En cada punto p ∈ M hay un espacio vectorial T _p M , llamado espacio tangente , que consiste en todos los vectores tangentes a la variedad en el punto p . Un tensor métrico en p es una función g _p ( X _p , Y _p ) que toma como entradas un par de vectores tangentes X _p e Y _p en p , y produce como salida un número real ( escalar ), de modo que se satisfacen las siguientes condiciones: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

• g _p es bilineal . Una función de dos argumentos vectoriales es bilineal si es lineal por separado en cada argumento. Por lo tanto, si U _p , V _p , Y _p son tres vectores tangentes en p y a y b son números reales, entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}g_{p}(aU_{p}+bV_{p},Y_{p})&=ag_{p}(U_{p},Y_{p})+bg_{p}(V_{p},Y_{p})\,,\quad {\text{and}}\\g_{p}(Y_{p},aU_{p}+bV_{p})&=ag_{p}(Y_{p},U_{p})+bg_{p}(Y_{p},V_{p})\,.\end{aligned}}}$$
• g _p es simétrica . ^[2] Una función de dos argumentos vectoriales es simétrica siempre que para todos los vectores X _p e Y _p , $${\displaystyle g_{p}(X_{p},Y_{p})=g_{p}(Y_{p},X_{p})\,.}$$
• g _p es no degenerada . Una función bilineal es no degenerada siempre que, para cada vector tangente X _p ≠ 0 , la funciónobtenida al mantener X _p constante y permitir que Y _p varíe no sea idénticamente cero . Es decir, para cada X _p ≠ 0 existe una Y _p tal que g _p ( X _p , Y _p ) ≠ 0 . $${\displaystyle Y_{p}\mapsto g_{p}(X_{p},Y_{p})}$$

Un campo tensorial métrico g en M asigna a cada punto p de M un tensor métrico g _p en el espacio tangente en p de una manera que varía suavemente con p . Más precisamente, dado cualquier subconjunto abierto U de la variedad M y cualesquiera campos vectoriales (suaves) X e Y en U , la función real es una función suave de p . $${\displaystyle g(X,Y)(p)=g_{p}(X_{p},Y_{p})}$$

Componentes de la métrica

Los componentes de la métrica en cualquier base de campos vectoriales , o marco , f = ( X ₁ , ..., X _n ) están dados por ^[3]

Las n ² funciones g _ij [ f ] forman las entradas de una matriz simétrica n × n , G [ f ] . Si

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}X_{i}\,,\quad w=\sum _{i=1}^{n}w^{i}X_{i}}$

son dos vectores en p ∈ U , entonces el valor de la métrica aplicada a v y w está determinado por los coeficientes ( 4 ) por bilinealidad:

${\displaystyle g(v,w)=\sum _{i,j=1}^{n}v^{i}w^{j}g\left(X_{i},X_{j}\right)=\sum _{i,j=1}^{n}v^{i}w^{j}g_{ij}[\mathbf {f} ]}$

Denotando la matriz ( g _ij [ f ]) por G [ f ] y ordenando los componentes de los vectores v y w en vectores columna v [ f ] y w [ f ] ,

${\displaystyle g(v,w)=\mathbf {v} [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]\mathbf {w} [\mathbf {f} ]=\mathbf {w} [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]\mathbf {v} [\mathbf {f} ]}$

donde v [ f ] ^T y w [ f ] ^T denotan la transpuesta de los vectores v [ f ] y w [ f ] , respectivamente. Bajo un cambio de base de la forma

${\displaystyle \mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} '=\left(\sum _{k}X_{k}a_{k1},\dots ,\sum _{k}X_{k}a_{kn}\right)=\mathbf {f} A}$

Para una matriz invertible de n × n A = ( a _ij ) , la matriz de componentes de la métrica también cambia en A. Es decir,

${\displaystyle G[\mathbf {f} A]=A^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A}$

o, en términos de las entradas de esta matriz,

${\displaystyle g_{ij}[\mathbf {f} A]=\sum _{k,l=1}^{n}a_{ki}g_{kl}[\mathbf {f} ]a_{lj}\,.}$

Por esta razón, se dice que el sistema de cantidades g _ij [ f ] se transforma covariantemente con respecto a los cambios en el marco f .

Métrica en coordenadas

Un sistema de n funciones de valor real ( x ¹ , ..., x ⁿ ) , que da un sistema de coordenadas local en un conjunto abierto U en M , determina una base de campos vectoriales en U

${\displaystyle \mathbf {f} =\left(X_{1}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\dots ,X_{n}={\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right)\,.}$

La métrica g tiene componentes relativos a este marco dados por

${\displaystyle g_{ij}\left[\mathbf {f} \right]=g\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}},{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)\,.}$

En relación con un nuevo sistema de coordenadas locales, digamos

${\displaystyle y^{i}=y^{i}(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n}),\quad i=1,2,\dots ,n}$

El tensor métrico determinará una matriz diferente de coeficientes,

${\displaystyle g_{ij}\left[\mathbf {f} '\right]=g\left({\frac {\partial }{\partial y^{i}}},{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\right).}$

Este nuevo sistema de funciones está relacionado con el original g _ij ( f ) mediante la regla de la cadena

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y^{i}}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}}$

de modo que

${\displaystyle g_{ij}\left[\mathbf {f} '\right]=\sum _{k,l=1}^{n}{\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}g_{kl}\left[\mathbf {f} \right]{\frac {\partial x^{l}}{\partial y^{j}}}.}$

O, en términos de las matrices G [ f ] = ( g _ij [ f ]) y G [ f ′] = ( g _ij [ f ′]) ,

${\displaystyle G\left[\mathbf {f} '\right]=\left((Dy)^{-1}\right)^{\mathsf {T}}G\left[\mathbf {f} \right](Dy)^{-1}}$

donde Dy denota la matriz jacobiana del cambio de coordenadas.

Firma de una métrica

Asociado a cualquier tensor métrico está la forma cuadrática definida en cada espacio tangente por

${\displaystyle q_{m}(X_{m})=g_{m}(X_{m},X_{m})\,,\quad X_{m}\in T_{m}M.}$

Si q _m es positivo para todos los X _m distintos de cero , entonces la métrica es definida positiva en m . Si la métrica es definida positiva en cada m ∈ M , entonces g se denomina métrica riemanniana . En términos más generales, si las formas cuadráticas q _m tienen una firma constante independiente de m , entonces la firma de g es esta firma, y ​​g se denomina métrica pseudo-riemanniana . ^[4] Si M es conexo , entonces la firma de q _m no depende de m . ^[5]

Por la ley de inercia de Sylvester , se puede _elegir localmente una base de vectores tangentes Xi de modo que la forma cuadrática se diagonalice de la siguiente manera

${\displaystyle q_{m}\left(\sum _{i}\xi ^{i}X_{i}\right)=\left(\xi ^{1}\right)^{2}+\left(\xi ^{2}\right)^{2}+\cdots +\left(\xi ^{p}\right)^{2}-\left(\xi ^{p+1}\right)^{2}-\cdots -\left(\xi ^{n}\right)^{2}}$

para algún p entre 1 y n . Cualesquiera dos expresiones de q (en el mismo punto m de M ) tendrán el mismo número p de signos positivos. La signatura de g es el par de números enteros ( p , n − p ) , lo que significa que hay p signos positivos y n − p signos negativos en cualquier expresión de este tipo. De manera equivalente, la métrica tiene signatura ( p , n − p ) si la matriz g _ij de la métrica tiene p valores propios positivos y n − p negativos .

Ciertas firmas métricas que surgen con frecuencia en las aplicaciones son:

• Si g tiene signatura ( n , 0) , entonces g es una métrica riemanniana y M se denomina variedad riemanniana . De lo contrario, g es una métrica pseudoriemanniana y M se denomina variedad pseudoriemanniana (también se utiliza el término semiriemanniana).
• Si M es cuatridimensional con signatura (1, 3) o (3, 1) , entonces la métrica se denomina lorentziana . En términos más generales, un tensor métrico de dimensión n distinta de 4 con signatura (1, n − 1) o ( n − 1, 1) también se denomina a veces lorentziano.
• Si M es 2 n -dimensional y g tiene firma ( n , n ) , entonces la métrica se llama ultrahiperbólica.

Métrica inversa

Sea f = ( X ₁ , ..., X _n ) una base de campos vectoriales y, como antes, sea G [ f ] la matriz de coeficientes

${\displaystyle g_{ij}[\mathbf {f} ]=g\left(X_{i},X_{j}\right)\,.}$

Se puede considerar la matriz inversa G [ f ] ⁻¹ , que se identifica con la métrica inversa (o métrica conjugada o dual ). La métrica inversa satisface una ley de transformación cuando el marco f se cambia por una matriz A mediante

La métrica inversa se transforma contravariantemente , o con respecto a la inversa de la matriz de cambio de base A. Mientras que la métrica en sí proporciona una forma de medir la longitud de (o el ángulo entre) campos vectoriales, la métrica inversa proporciona un medio para medir la longitud de (o el ángulo entre) campos covectoriales ; es decir, campos de funcionales lineales .

Para comprobarlo, supongamos que α es un campo covectorial, es decir, para cada punto p , α determina una función α _p definida sobre vectores tangentes en p de modo que se cumple la siguiente condición de linealidad para todos los vectores tangentes X _p e Y _p , y todos los números reales a y b :

${\displaystyle \alpha _{p}\left(aX_{p}+bY_{p}\right)=a\alpha _{p}\left(X_{p}\right)+b\alpha _{p}\left(Y_{p}\right)\,.}$

A medida que p varía, se supone que α es una función suave en el sentido de que

${\displaystyle p\mapsto \alpha _{p}\left(X_{p}\right)}$

es una función suave de p para cualquier campo vectorial suave X.

Cualquier campo covectorial α tiene componentes en la base de los campos vectoriales f . Estos están determinados por

${\displaystyle \alpha _{i}=\alpha \left(X_{i}\right)\,,\quad i=1,2,\dots ,n\,.}$

Denotemos el vector fila de estos componentes por

${\displaystyle \alpha [\mathbf {f} ]={\big \lbrack }{\begin{array}{cccc}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\dots &\alpha _{n}\end{array}}{\big \rbrack }\,.}$

Ante un cambio de f por una matriz A , α [ f ] cambia según la regla

${\displaystyle \alpha [\mathbf {f} A]=\alpha [\mathbf {f} ]A\,.}$

Es decir, el vector fila de componentes α [ f ] se transforma en un vector covariante .

Para un par α y β de campos covectores, defina la métrica inversa aplicada a estos dos covectores mediante

La definición resultante, aunque implica la elección de la base f , en realidad no depende de f de manera esencial. De hecho, cambiar la base a f A da

${\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha [\mathbf {f} A]G[\mathbf {f} A]^{-1}\beta [\mathbf {f} A]^{\mathsf {T}}\\={}&\left(\alpha [\mathbf {f} ]A\right)\left(A^{-1}G[\mathbf {f} ]^{-1}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}\right)\left(A^{\mathsf {T}}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}\right)\\={}&\alpha [\mathbf {f} ]G[\mathbf {f} ]^{-1}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}.\end{aligned}}}$

De modo que el lado derecho de la ecuación ( 6 ) no se ve afectado al cambiar la base f por cualquier otra base f A. En consecuencia, a la ecuación se le puede asignar un significado independientemente de la elección de la base. Las entradas de la matriz G [ f ] se denotan por g ^ij , donde los índices i y j se han elevado para indicar la ley de transformación ( 5 ).

Subida y bajada de índices

En una base de campos vectoriales f = ( X ₁ , ..., X _n ) , cualquier campo vectorial tangente suave X puede escribirse en la forma

para algunas funciones uniformes unívocamente determinadas v ¹ , ..., v ⁿ . Al cambiar la base f por una matriz no singular A , los coeficientes v ⁱ cambian de tal manera que la ecuación ( 7 ) sigue siendo verdadera. Es decir,

${\displaystyle X=\mathbf {fA} v[\mathbf {fA} ]=\mathbf {f} v[\mathbf {f} ]\,.}$

En consecuencia, v [ f A ] = A ⁻¹ v [ f ] . En otras palabras, los componentes de un vector se transforman contravariantemente (es decir, inversamente o en sentido opuesto) ante un cambio de base por parte de la matriz no singular A . La contravariancia de los componentes de v [ f ] se designa notacionalmente colocando los índices de v ⁱ [ f ] en la posición superior.

Un marco también permite expresar covectores en términos de sus componentes. Para la base de los campos vectoriales f = ( X ₁ , ..., X _n ) definamos la base dual como los funcionales lineales ( θ ¹ [ f ], ..., θ ⁿ [ f ]) tales que

${\displaystyle \theta ^{i}[\mathbf {f} ](X_{j})={\begin{cases}1&\mathrm {if} \ i=j\\0&\mathrm {if} \ i\not =j.\end{cases}}}$

Es decir, θ ⁱ [ f ]( X _j ) = δ _j ⁱ , la delta de Kronecker . Sea

${\displaystyle \theta [\mathbf {f} ]={\begin{bmatrix}\theta ^{1}[\mathbf {f} ]\\\theta ^{2}[\mathbf {f} ]\\\vdots \\\theta ^{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}.}$

Bajo un cambio de base f ↦ f A para una matriz no singular A , θ [ f ] se transforma mediante

${\displaystyle \theta [\mathbf {f} A]=A^{-1}\theta [\mathbf {f} ].}$

Cualquier funcional lineal α sobre vectores tangentes se puede desarrollar en términos de la base dual θ

donde a [ f ] denota el vector fila [ a ₁ [ f ] ... a _n [ f ] ] . Las componentes a _i se transforman cuando la base f se reemplaza por f A de tal manera que la ecuación ( 8 ) sigue siendo válida. Es decir,

${\displaystyle \alpha =a[\mathbf {f} A]\theta [\mathbf {f} A]=a[\mathbf {f} ]\theta [\mathbf {f} ]}$

de donde, como θ [ f A ] = A ⁻¹ θ [ f ] , se sigue que a [ f A ] = a [ f ] A . Es decir, los componentes a se transforman covariantemente (por la matriz A en lugar de su inversa). La covarianza de los componentes de a [ f ] se designa notacionalmente colocando los índices de a _i [ f ] en la posición inferior.

Ahora, el tensor métrico proporciona un medio para identificar vectores y covectores de la siguiente manera. Manteniendo X _p fijo, la función

${\displaystyle g_{p}(X_{p},-):Y_{p}\mapsto g_{p}(X_{p},Y_{p})}$

del vector tangente Y _p define una función lineal en el espacio tangente en p . Esta operación toma un vector X _p en un punto p y produce un covector g _p ( X _p , −) . En una base de campos vectoriales f , si un campo vectorial X tiene componentes v [ f ] , entonces los componentes del campo covector g ( X , −) en la base dual están dados por las entradas del vector fila

${\displaystyle a[\mathbf {f} ]=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ].}$

Bajo un cambio de base f ↦ f A , el lado derecho de esta ecuación se transforma mediante

${\displaystyle v[\mathbf {f} A]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} A]=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}A^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A}$

de manera que a [ f A ] = a [ f ] A : a se transforma covariantemente. La operación de asociar a las componentes (contravariantes) de un campo vectorial v [ f ] = [ v ¹ [ f ] v ² [ f ] ... v ⁿ [ f ] ] ^T las componentes (covariantes) del campo covectorial a [ f ] = [ a ₁ [ f ] a ₂ [ f ] … a _n [ f ] ] , donde

${\displaystyle a_{i}[\mathbf {f} ]=\sum _{k=1}^{n}v^{k}[\mathbf {f} ]g_{ki}[\mathbf {f} ]}$

se llama bajar el índice .

Para elevar el índice se aplica la misma construcción pero con la métrica inversa en lugar de la métrica. Si a [ f ] = [ a ₁ [ f ] a ₂ [ f ] ... a _n [ f ] ] son ​​los componentes de un covector en la base dual θ [ f ] , entonces el vector columna

tiene componentes que se transforman contravariantemente:

${\displaystyle v[\mathbf {f} A]=A^{-1}v[\mathbf {f} ].}$

En consecuencia, la cantidad X = f v [ f ] no depende de la elección de la base f de manera esencial, y por lo tanto define un campo vectorial en M . La operación ( 9 ) que asocia a las componentes (covariantes) de un covector a [ f ] las componentes (contravariantes) de un vector v [ f ] dado se llama elevar el índice . En componentes, ( 9 ) es

${\displaystyle v^{i}[\mathbf {f} ]=\sum _{k=1}^{n}g^{ik}[\mathbf {f} ]a_{k}[\mathbf {f} ].}$

Métrica inducida

Sea U un conjunto abierto en ℝ ⁿ , y sea φ una función continuamente diferenciable de U en el espacio euclidiano ℝ ^m , donde m > n . La aplicación φ se denomina inmersión si su diferencial es inyectiva en cada punto de U . La imagen de φ se denomina subvariedad inmersa . Más específicamente, para m = 3 , lo que significa que el espacio euclidiano ambiental es ℝ ³ , el tensor métrico inducido se denomina primera forma fundamental .

Supongamos que φ es una inmersión en la subvariedad M ⊂ R ^m . El producto escalar euclidiano habitual en ℝ ^m es una métrica que, cuando se restringe a vectores tangentes a M , proporciona un medio para tomar el producto escalar de estos vectores tangentes. Esto se denomina métrica inducida .

Supongamos que v es un vector tangente en un punto de U , digamos

${\displaystyle v=v^{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +v^{n}\mathbf {e} _{n}}$

donde e _i son los vectores de coordenadas estándar en ℝ ⁿ . Cuando φ se aplica a U , el vector v pasa al vector tangente a M dado por

${\displaystyle \varphi _{*}(v)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{a=1}^{m}v^{i}{\frac {\partial \varphi ^{a}}{\partial x^{i}}}\mathbf {e} _{a}\,.}$

(Esto se llama el empuje hacia adelante de v a lo largo de φ .) Dados dos de estos vectores, v y w , la métrica inducida se define por

${\displaystyle g(v,w)=\varphi _{*}(v)\cdot \varphi _{*}(w).}$

De un cálculo sencillo se deduce que la matriz de la métrica inducida en base a los campos de vectores de coordenadas e está dada por

${\displaystyle G(\mathbf {e} )=(D\varphi )^{\mathsf {T}}(D\varphi )}$

donde Dφ es la matriz jacobiana:

${\displaystyle D\varphi ={\begin{bmatrix}{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{n}}}\\[1ex]{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{n}}}\end{bmatrix}}.}$

Definiciones intrínsecas de una métrica

La noción de métrica se puede definir intrínsecamente utilizando el lenguaje de los haces de fibras y los haces vectoriales . En estos términos, un tensor métrico es una función

del producto de fibras del fibrado tangente de M consigo mismo hasta R tal que la restricción de g a cada fibra es una función bilineal no degenerada

${\displaystyle g_{p}:\mathrm {T} _{p}M\times \mathrm {T} _{p}M\to \mathbf {R} .}$

Se requiere que la función ( 10 ) sea continua y, a menudo, continuamente diferenciable , suave o analítica real , dependiendo del caso de interés y de si M puede soportar dicha estructura.

Métrica como sección de un conjunto

Por la propiedad universal del producto tensorial , cualquier aplicación bilineal ( 10 ) da lugar naturalmente a una sección g _⊗ del dual del fibrado de productos tensoriales de T M consigo mismo

${\displaystyle g_{\otimes }\in \Gamma \left((\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M)^{*}\right).}$

La sección g _⊗ se define sobre elementos simples de T M ⊗ T M por

${\displaystyle g_{\otimes }(v\otimes w)=g(v,w)}$

y se define sobre elementos arbitrarios de T M ⊗ T M extendiéndose linealmente a combinaciones lineales de elementos simples. La forma bilineal original g es simétrica si y sólo si

${\displaystyle g_{\otimes }\circ \tau =g_{\otimes }}$

dónde

${\displaystyle \tau :\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M{\stackrel {\cong }{\to }}TM\otimes TM}$

es el mapa de trenzado .

Dado que M es de dimensión finita, existe un isomorfismo natural

${\displaystyle (\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M)^{*}\cong \mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathrm {T} ^{*}M,}$

de modo que g _⊗ se considera también como una sección del fibrado T* M ⊗ T* M del fibrado cotangente T* M consigo mismo. Puesto que g es simétrico como aplicación bilineal, se deduce que g _⊗ es un tensor simétrico .

Métrica en un haz vectorial

De manera más general, se puede hablar de una métrica en un fibrado vectorial . Si E es un fibrado vectorial sobre una variedad M , entonces una métrica es una función

${\displaystyle g:E\times _{M}E\to \mathbf {R} }$

del producto de fibra de E a R que es bilineal en cada fibra:

${\displaystyle g_{p}:E_{p}\times E_{p}\to \mathbf {R} .}$

Usando la dualidad como se indicó anteriormente, una métrica a menudo se identifica con una sección del fibrado de productos tensoriales E * ⊗ E * .

Isomorfismo tangente-cotangente

El tensor métrico da un isomorfismo natural del fibrado tangente al fibrado cotangente , a veces llamado isomorfismo musical . ^[6] Este isomorfismo se obtiene estableciendo, para cada vector tangente X _p ∈ T _p M ,

${\displaystyle S_{g}X_{p}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,g(X_{p},-),}$

la funcional lineal sobre T _p M que envía un vector tangente Y _p en p a g _p ( X _p , Y _p ) . Es decir, en términos del emparejamiento [−, −] entre T _p M y su espacio dual T^*
_pág.Yo ,

${\displaystyle [S_{g}X_{p},Y_{p}]=g_{p}(X_{p},Y_{p})}$

para todos los vectores tangentes X _p e Y _p . La aplicación S _g es una transformación lineal de T _p M a T^*
_pág.M . De la definición de no degeneración se deduce que el núcleo de S _g se reduce a cero y, por lo tanto, según el teorema de rango-nulidad , S _g es un isomorfismo lineal . Además, S _g es una transformación lineal simétrica en el sentido de que

${\displaystyle [S_{g}X_{p},Y_{p}]=[S_{g}Y_{p},X_{p}]}$

para todos los vectores tangentes X _p e Y _p .

Por el contrario, cualquier isomorfismo lineal S  : T _p M → T^*
_pág.M define una forma bilineal no degenerada en T _p M por medio de

${\displaystyle g_{S}(X_{p},Y_{p})=[SX_{p},Y_{p}]\,.}$

Esta forma bilineal es simétrica si y sólo si S es simétrica. Por lo tanto, existe una correspondencia biunívoca natural entre las formas bilineales simétricas en T _p M y los isomorfismos lineales simétricos de T _p M con el dual T^*
_pág.METRO .

Como p varía en M , S _g define una sección del fibrado Hom(T M , T* M ) de isomorfismos de fibrado vectorial del fibrado tangente al fibrado cotangente. Esta sección tiene la misma suavidad que g : es continua, diferenciable, suave o real-analítica según g . La aplicación S _g , que asocia a cada cuerpo vectorial en M un cuerpo covectorial en M, da una formulación abstracta de "bajar el índice" en un cuerpo vectorial. La inversa de S _g es una aplicación T* M → T M que, análogamente, da una formulación abstracta de "subir el índice" en un cuerpo covectorial.

La S inversa^-1
_gramodefine una aplicación lineal

${\displaystyle S_{g}^{-1}:\mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M}$

que no es singular y es simétrico en el sentido de que

${\displaystyle \left[S_{g}^{-1}\alpha ,\beta \right]=\left[S_{g}^{-1}\beta ,\alpha \right]}$

para todos los covectores α , β . Una aplicación simétrica no singular de este tipo da lugar (por la adjunción tensorial-hom ) a una aplicación

${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathrm {T} ^{*}M\to \mathbf {R} }$

o por el doble isomorfismo dual a una sección del producto tensorial

${\displaystyle \mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M.}$

Longitud de arco y elemento de línea

Supongamos que g es una métrica de Riemann en M . En un sistema de coordenadas local x ⁱ , i = 1, 2, …, n , el tensor métrico aparece como una matriz , denotada aquí por G , cuyas entradas son los componentes g _ij del tensor métrico relativos a los campos de vectores de coordenadas.

Sea γ ( t ) una curva paramétrica diferenciable por partes en M , para a ≤ t ≤ b . La longitud de arco de la curva está definida por

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t))\left({\frac {d}{dt}}x^{i}\circ \gamma (t)\right)\left({\frac {d}{dt}}x^{j}\circ \gamma (t)\right)}}\,dt\,.}$

En relación con esta aplicación geométrica, la forma diferencial cuadrática

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(p)dx^{i}dx^{j}}$

se denomina la primera forma fundamental asociada a la métrica, mientras que ds es el elemento de línea . Cuando ds ² se retrotrae a la imagen de una curva en M , representa el cuadrado de la diferencial con respecto a la longitud de arco.

Para una métrica pseudo-riemanniana, la fórmula de longitud anterior no siempre está definida, porque el término debajo de la raíz cuadrada puede volverse negativo. Generalmente, solo definimos la longitud de una curva cuando la cantidad debajo de la raíz cuadrada siempre es de un signo u otro. En este caso, defina

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left|\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t))\left({\frac {d}{dt}}x^{i}\circ \gamma (t)\right)\left({\frac {d}{dt}}x^{j}\circ \gamma (t)\right)\right|}}\,dt\,.}$

Si bien estas fórmulas utilizan expresiones de coordenadas, en realidad son independientes de las coordenadas elegidas; dependen únicamente de la métrica y de la curva a lo largo de la cual se integra la fórmula.

La energía, los principios variacionales y las geodésicas

Dado un segmento de una curva, otra cantidad frecuentemente definida es la energía (cinética) de la curva:

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t))\left({\frac {d}{dt}}x^{i}\circ \gamma (t)\right)\left({\frac {d}{dt}}x^{j}\circ \gamma (t)\right)\,dt\,.}$

Este uso proviene de la física , específicamente de la mecánica clásica , donde se puede observar que la integral E corresponde directamente a la energía cinética de una partícula puntual que se mueve sobre la superficie de una variedad. Así, por ejemplo, en la formulación de Jacobi del principio de Maupertuis , se puede observar que el tensor métrico corresponde al tensor de masa de una partícula en movimiento.

En muchos casos, siempre que un cálculo requiere el uso de la longitud, también se puede realizar un cálculo similar utilizando la energía. Esto a menudo conduce a fórmulas más simples al evitar la necesidad de la raíz cuadrada. Así, por ejemplo, las ecuaciones geodésicas se pueden obtener aplicando principios variacionales a la longitud o a la energía. En el último caso, se considera que las ecuaciones geodésicas surgen del principio de mínima acción : describen el movimiento de una "partícula libre" (una partícula que no siente fuerzas) que está confinada a moverse en la variedad, pero que por lo demás se mueve libremente, con un momento constante, dentro de la variedad. ^[7]

Medida canónica y forma de volumen

En analogía con el caso de las superficies, un tensor métrico en una variedad paracompacta n -dimensional M da lugar a una forma natural de medir el volumen n -dimensional de los subconjuntos de la variedad. La medida de Borel positiva natural resultante permite desarrollar una teoría de funciones integradoras en la variedad mediante la integral de Lebesgue asociada .

Una medida puede definirse, por el teorema de representación de Riesz , dando un funcional lineal positivo Λ en el espacio C ₀ ( M ) de funciones continuas soportadas de forma compacta en M . Más precisamente, si M es una variedad con un tensor métrico (pseudo-)riemanniano g , entonces existe una única medida de Borel positiva μ _g tal que para cualquier gráfico de coordenadas ( U , φ ) , para todo f soportado en U . Aquí det g es el determinante de la matriz formada por los componentes del tensor métrico en el gráfico de coordenadas. Que Λ esté bien definido en funciones soportadas en vecindades de coordenadas se justifica por el cambio jacobiano de variables . Se extiende a un único funcional lineal positivo en C ₀ ( M ) por medio de una partición de la unidad . $${\displaystyle \Lambda f=\int _{U}f\,d\mu _{g}=\int _{\varphi (U)}f\circ \varphi ^{-1}(x){\sqrt {\left|\det g\right|}}\,dx}$$

Si M también está orientada , entonces es posible definir una forma de volumen natural a partir del tensor métrico. En un sistema de coordenadas orientado positivamente ( x ¹ , ..., x ⁿ ) la forma de volumen se representa como donde dx ⁱ son las diferenciales de coordenadas y ∧ denota el producto exterior en el álgebra de formas diferenciales . La forma de volumen también proporciona una manera de integrar funciones en la variedad, y esta integral geométrica concuerda con la integral obtenida por la medida canónica de Borel. $${\displaystyle \omega ={\sqrt {\left|\det g\right|}}\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$$

Ejemplos

Métrica euclidiana

El ejemplo más conocido es el de la geometría euclidiana elemental: el tensor métrico euclidiano bidimensional . En las coordenadas cartesianas ( x , y ) habituales , podemos escribir

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\,.}$

La longitud de una curva se reduce a la fórmula:

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {(dx)^{2}+(dy)^{2}}}\,.}$

La métrica euclidiana en algunos otros sistemas de coordenadas comunes se puede escribir de la siguiente manera.

Coordenadas polares ( r , θ ) :

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\J&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}\,.\end{aligned}}}$

Entonces

${\displaystyle g=J^{\mathsf {T}}J={\begin{bmatrix}\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta &-r\sin \theta \cos \theta +r\sin \theta \cos \theta \\-r\cos \theta \sin \theta +r\cos \theta \sin \theta &r^{2}\sin ^{2}\theta +r^{2}\cos ^{2}\theta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}}$

por identidades trigonométricas .

En general, en un sistema de coordenadas cartesianas x ⁱ en un espacio euclidiano , las derivadas parciales ∂ / ∂ x ⁱ son ortonormales respecto de la métrica euclidiana. Por lo tanto, el tensor métrico es el delta de Kronecker δ _ij en este sistema de coordenadas. El tensor métrico respecto de coordenadas arbitrarias (posiblemente curvilíneas) q ⁱ viene dado por

${\displaystyle g_{ij}=\sum _{kl}\delta _{kl}{\frac {\partial x^{k}}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial x^{l}}{\partial q^{j}}}=\sum _{k}{\frac {\partial x^{k}}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial q^{j}}}.}$

La métrica redonda en una esfera

La esfera unitaria en ℝ ³ viene equipada con una métrica natural inducida a partir de la métrica euclidiana ambiental, mediante el proceso explicado en la sección de métrica inducida. En coordenadas esféricas estándar ( θ , φ ) , con θ la colatitud , el ángulo medido desde el eje z , y φ el ángulo desde el eje x en el plano xy , la métrica toma la forma

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0\\0&\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\,.}$

Esto generalmente se escribe en la forma

${\displaystyle ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\,.}$

Métricas lorentzianas desde la relatividad

En el espacio plano de Minkowski ( relatividad especial ), con coordenadas

${\displaystyle r^{\mu }\rightarrow \left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,x,y,z)\,,}$

La métrica es, dependiendo de la elección de la firma métrica ,

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\quad {\text{or}}\quad g={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\,.}$

Para una curva con coordenadas de tiempo constantes, por ejemplo, la fórmula de longitud con esta métrica se reduce a la fórmula de longitud habitual. Para una curva con coordenadas temporales , la fórmula de longitud proporciona el tiempo adecuado a lo largo de la curva.

En este caso, el intervalo de espacio-tiempo se escribe como

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=dr^{\mu }dr_{\mu }=g_{\mu \nu }dr^{\mu }dr^{\nu }\,.}$

La métrica de Schwarzschild describe el espacio-tiempo alrededor de un cuerpo con simetría esférica, como un planeta o un agujero negro . Con coordenadas

${\displaystyle \left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,r,\theta ,\varphi )\,,}$

Podemos escribir la métrica como

${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)&0&0&0\\0&-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\,,}$

donde G (dentro de la matriz) es la constante gravitacional y M representa el contenido total de masa-energía del objeto central.

Véase también

• Variedad de Riemann
• Variedad pseudo-riemanniana
• Introducción básica a las matemáticas del espacio-tiempo curvo
• Álgebra de Clifford
• Colector Finsler
• Lista de gráficos de coordenadas
• Cálculo de Ricci
• La indicatriz de Tissot , una técnica para visualizar el tensor métrico

Notas

1. Más precisamente, el integrando es el retroceso de este diferencial a la curva.
2. En varias formulaciones de teorías clásicas de campos unificados , se permitió que el tensor métrico no fuera simétrico; sin embargo, la parte antisimétrica de dicho tensor no juega ningún papel en los contextos aquí descritos, por lo que no se considerará más.
3. La notación que utiliza corchetes para indicar la base en función de la cual se calculan los componentes no es universal. La notación empleada aquí se basa en la de Wells (1980). Por lo general, se suprime por completo esa dependencia explícita de la base.
4. Dodson y Poston 1991, Capítulo VII §3.04
5. Vaughn 2007, §3.4.3
6. Para la terminología "isomorfismo musical", véase Gallot, Hulin y Lafontaine (2004, pág. 75). Véase también Lee (1997, págs. 27-29).
7. Sternberg 1983

Referencias

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• Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique ; Lafontaine, Jacques (2004), Geometría de Riemann (3.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-20493-0.
• Gauss, Carl Friedrich (1827), Investigaciones generales sobre superficies curvas, Nueva York: Raven Press (publicado en 1965)traducido por AM Hiltebeitel y JC Morehead; "Disquisitiones generales circa superficies curvas", Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores vol. VI (1827), págs. 99-146.
• Hawking, SW ; Ellis, GFR (1973), La estructura a gran escala del espacio-tiempo , Cambridge University Press.
• Kay, David (1988), Esquema de teoría y problemas del cálculo tensorial de Schaum , McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-033484-7.
• Kline, Morris (1990), El pensamiento matemático desde la antigüedad hasta los tiempos modernos, Volumen 3 , Oxford University Press.
• Lee, John (1997), Variedades de Riemann , Springer Verlag, ISBN 978-0-387-98322-6.
• Michor, Peter W. (2008), Temas de geometría diferencial , Estudios de posgrado en matemáticas , vol. 93, Providence: American Mathematical Society( aparecer ).
• Misner, Charles W. ; Thorne, Kip S. ; Wheeler, John A. (1973), Gravitación , WH Freeman, ISBN 0-7167-0344-0
• Ricci-Curbastro, Gregorio ; Levi-Civita, Tullio (1900), "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs apps", Mathematische Annalen , 54 (1): 125–201, doi :10.1007/BF01454201, ISSN  1432-1807, S2CID  120009332
• Sternberg, S. (1983), Lecciones sobre geometría diferencial (2.ª ed.), Nueva York: Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8218-1385-4
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• Wells, Raymond (1980), Análisis diferencial en variedades complejas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag